2016年上海市复旦大学附中高一上学期数学期中考试试卷

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1、2016年上海市复旦大学附中高一上学期数学期中考试试卷一、填空题（共12小题；共60分）1.集合1,2,3,⋯,2015,2016的子集个数为 ．2.已知全集U=R，集合A=xx≤1，集合B=xx≥2，则∁UA∪B= ．3.已知集合A=x1≤x≤2，集合B=xx≤a，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是 ．4.已知集合U=a,b,c,d,e,f，集合A=a,b,c,d，A∩B=b，∁UA∪B=f，则集合B= ．5.已知a2>a1>0，b2>b1>0，且a1+a2=b1+b2=1，记A=a1b1+a2

2、b2，B=a1b2+a2b1，C=12，则按A，B，C从小到大的顺序排列是 ．6.已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为 ．7.设集合M=xx2+x−6<0，N=x1≤x≤3，则M∩N= ．8.已知A=x2−x>x，B=xxx−3x+3>0，则A∩B= ．9.对于任意集合X与Y，定义：①X−Y=xx∈X且x∉Y，②X△Y=X−Y∪Y−X，已知A=yy=x2,x∈R，B=y−2≤y≤2，则A△B= ．10.已知常数a是正整数，集合A=xx−a

3、集合A∪B中所有元素之和为 ．11.非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意a,b∈G，都有a+b∈G；（2）存在e∈G使得对于一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，则称G是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合与运算：①G是非负整数集，⊕：实数的加法；②G是偶数集，⊕：实数的乘法；③G是所有二次三项式构成的集合，⊕：多项式的乘法；④G=xx=a+b2,a,b∈Q，⊕：实数的乘法；其中属于融洽集的是 ．（请填写编号）12.集合A=x,yy=ax,x∈R，B=x,yy=x+a,x∈R，已知集合A∩B中有且仅有一

4、个元素，则常数a的取值范围是 ．二、选择题（共4小题；共20分）13.已知集合A=1,2,3,⋯,2105,2016，集合B=xx=3k+1,k∈Z，则A∩B中的最大元素是  A.2014B.2015C.2016D.以上答案都不对14.已知全集U=A∪B中有m个元素，∁UA∪∁UB中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为  A.mnB.m+nC.n−mD.m−n第6页（共6页）15.命题“已知x,y∈R，如果x2+y2=0，那么x=0且y=0”的逆否命题是  A.已知x,y∈R，如果x2+

5、y2≠0，那么x≠0且y≠0B.已知x,y∈R，如果x2+y2≠0，那么x≠0或y≠0C.已知x,y∈R，如果x≠0或y≠0，那么x2+y2≠0D.已知x,y∈R，如果x≠0且y≠0，那么x2+y2≠016.对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a=b”是“ac=bc”的充要条件；②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<4”是“a<3”的必要条件；其中真命题的个数是  A.1个B.2个C.3个D.4个三、解答题（共5小题；共65分）17.已

6、知集合A=1,2,3，B=xx2−a+1x+a=0,x∈R，若A∪B=A，求实数a．18.已知a,b,c∈R+，求证：2a3+b3+c3≥ab2+a2b+bc2+b2c+ac2+a2c．19.设正有理数a1是3的一个近似值，令a2=1+21+a1，求证：（1）3介于a1与a2之间；（2）a2比a1更接近于3．20.已知对任意实数x，不等式mx2−3−mx+1>0成立或不等式mx>0成立，求实数m的取值范围．21.已知关于x的不等式4kx−k2−12k−92x−11>0，其中k∈R．（1）试求不等式

7、的解集A；（2）对于不等式的解集A，记B=A∩Z（其中Z为整数集），若集合B为有限集，求实数k的取值范围，使得集合B中元素个数最少，并用列举法表示集合B．第6页（共6页）答案第一部分1.22016【解析】因为集合1,2,3,⋯,2015,2016中有2016个元素，所以集合M1,2,3,⋯,2015,2016的子集的个数为22016．2.x1

8、x≤2，集合B=xx≤a，因为A∩B≠∅，所以a≥1．4.b,e【解析】因为U=a,b,c,d,e,f，∁UA∪B=f，所以A∪B=a,b,c,d,e，因为A∩B=b；A=a,b,c,d，所以b∈B，e∈B，a∉B，c∉B，d∉B，所以B=b,e．5.Ba1>0，b2>b1>0，且a1+a2=b1+b2=1，不妨令a1=13，a2=23，b1=13，b2=23，A=a1b1+a2b2=19+49=59，B=a1b2+a2b1=29+29=49，因为C=12