2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）山东卷

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1、2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）山东卷一、选择题（共10小题；共50分）1.若复数z满足2z+z=3−2i其中i为虚数单位，则z=  A.1+2iB.1−2iC.−1+2iD.−1−2i2.设集合A=yy=2x,x∈R，B=xx2−1<0，则A∪B=  A.−1,1B.0,1C.−1,+∞D.0,+∞3.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20，20,22.5，22.5,25，25

2、,27.5，27.5,30．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是  A.56B.60C.120D.1404.若变量x，y满足x+y≤2,2x−3y≤9,x≥0,则x2+y2得最大值是  A.4B.9C.10D.125.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为  A.13+23πB.13+23πC.13+26πD.1+26π第9页（共9页）6.已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的  A.充分

3、不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.函数fx=3sinx+cosx3cosx−sinx的最小正周期是  A.π2B.πC.3π2D.2π8.已知非零向量m，n满足4m=3n，cos=13．若n⊥tm+n，则实数t的值为  A.4B.−4C.94D.−949.已知函数fx的定义域为R．当x<0时，fx=x3−1；当−1≤x≤1时，f−x=−fx；当x>12时，fx+12=fx−12．则f6=  A.−2B.−1C.0D.210.若函数y=fx的图象上存在两点，使得函

4、数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=fx具有T性质．下列函数中具有T性质的是  A.y=sinxB.y=lnxC.y=exD.y=x3二、填空题（共5小题；共25分）11.执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为______．12.若ax2+1x5的展开式中x5的系数是−80，则实数a=______．13.已知双曲线E1:x2a2−y2b2a>0,b>0，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2AB=3BC，则E的离心率是______．14.在

5、−1,1上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆x−52+y2=9相交”发生的概率为______．第9页（共9页）15.已知函数fx=x,x≤m,x2−2mx+4m,x>m,其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程fx=b有三个不同的根，则m的取值范围是______．三、解答题（共6小题；共78分）16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2tanA+tanB=tanAcosB+tanBcosA．（1）证明：a+b=2c；（2）求cosC的最小值.17.在如图所示的圆台中，AC是下

6、底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线．（1）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（2）已知EF=FB=12AC=23AB=BC．求二面角F−BC−A的余弦值．18.已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n，bn是等差数列，且an=bn+bn+1．（1）求数列bn的通项公式；（2）令cn=an+1n+1bn+2n，求数列cn的前n项和Tn．19.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如

7、果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；（2）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．20.已知fx=ax−lnx+2x−1x2，a∈R．（1）讨论fx的单调性；（2）当a=1时，证明fx>fʹx+32对于任意的x∈1,2成立．21.平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>

8、0的离心率是32，抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点．第9页（共9页）（1）求椭圆C的方程；（2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求S1S2的最大值及取得最大值时点P的坐标．第9页（共9页）答案第一部分1.B2