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1、2016年江苏省南通市如皋中学高三上学期苏教版数学第一次月考试卷一、填空题（共14小题；共70分）1.已知集合A=1,cosθ，B=12,1，若A=B，则锐角θ=______．2.已知幂函数y=fx的图象过点12,22，则f4的值为______．3.若函数fx=asinx+π4+3sinx−π4是偶函数，则实数a的值为______．4.若函数fx=x2ex+mex−1（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数m的值为______．5.函数y=−x2−2x+8的定义域为A，值域为B，则A∩B=______．6.已知x，y满足y≥x,x+y≤2,x≥a,且z=2x
2、+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是______．7.已知点P在直线y=2x+1上，点Q在曲线y=x+lnx上，则P，Q两点间距离的最小值为______．8.若函数fx=A sinωx+φA>0,ω>0,∣φ∣<π2的图象关于坐标原点中心对称，且在y轴右侧的第一个极值点为x=π3，则函数fx的最小正周期为______．9.函数fx的定义域为R，f0=2，对任意x∈R，fx+fʹx>1，则不等式ex⋅fx>ex+1的解集为______．10.已知tanα+β=1，tanα−β=2，则sin2αcos2β的值为______．11.在锐角三角形ABC中，若ta
3、nA，tanB，tanC依次成等差数列，则tanAtanC的值为______．12.已知函数fx=sinx，gx=sinπ2−x，直线x=m与fx，gx的图象分别交于M，N两点，则∣MN∣的最大值是______．13.已知函数fx=2x−1+a，gx=bf1−x，其中a,b∈R．若关于x的不等式fx≥gx的解的最小值为2，则a的取值范围是______．14.若实数x，y满足x2−4xy+4y2+4x2y2=4，则当x+2y取得最大值时，xy的值为______．二、解答题（共10小题；共130分）15.已知α∈0,π2，β∈π2,π，cosβ=−13，sin
4、α+β=79．（1）求tanβ2的值；（2）求sinα的值．16.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosAcosB=ba=3．（1）求C；（2）如图，设半径为R的圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧AC上，∠PAB=θ，求四边形APCB面积Sθ的解析式及最大值．第9页（共9页）17.如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120∘，OC=1，AB=OB+OC，且OA>OB，现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k（k为正常数）；在△AOC区域（阴影区域）内镶
5、嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为43k，设OA=x，OB=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求N−M的最大值及相应的x的值．18.对于定义域为D的函数y=fx，若同时满足下列条件：①fx在D内单调递增或单调递减；②存在区间a,b⊆D，使fx在a,b上的值域为a,b；那么把y=fx（x∈D）叫闭函数．（1）求闭函数y=−x3符合条件②的区间a,b；（2）判断函数fx=34x+1x（x>0）是否为闭函数?并说明理由；（3）若y=k+x+2是闭函数，求实数k的取值范围．19.已知函数fx=1+x+1
6、−x．（1）求函数fx的定义域和值域；（2）设Fx=a2⋅f2x−2+fxa为实数，求Fx在a<0时的最大值ga；（3）对（2）中ga，若−m2+2tm+2≤ga对a<0所有的实数a及t∈−1,1恒成立，求实数m的取值范围．20.过点P−1,0作曲线fx=ex的切线l．（1）求切线l的方程；（2）若直线l与曲线y=afxa∈R交于不同的两点Ax1,y1，Bx2,y2，求证：x1+x2<−4．21.已知矩阵A=1−2−2−1，B=5−15满足AX=B，求矩阵X．22.在平面直角坐标系xOy中，设点Px,5在矩阵M=1234对应的变换下得到点Qy−2,y，求M
7、−1xy．23.已知常数a>0，函数fx=ln1+ax−2xx+2．讨论fx在区间0,+∞上的单调性．第9页（共9页）24.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90∘，且PA=AB=BC=12AD=1，PA⊥平面ABCD．（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）棱PD上是否存在一点E满足∠AEC=90∘?若存在，求AE的长；若不存在，说明理由．第9页（共9页）答案第一部分1.π32.23.−34.15.0,26.147.2558.43π9.xx>010.111.312.213.−∞,−2∪−14,+∞14.2第二
8、部分15.（1）因为cosβ=cos2β2−sin2β2=cos2
