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1、2016届江苏省镇江市高三数学一模一、填空题（共14小题；共70分）1.若全集为U＝R，A＝xx2−x>0，则∁UA=______.2.i为虚数单位，计算1−i2−i=______.3.箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为______．4.已知实数x，y满足x−y≤2,x+y≤8,x≥1,则z=2x+y的最小值是______.5.阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是______．6.已知向量a＝−2,1，b＝1,0，则2a+b＝______．7.已知函数fx
2、是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=1−log2x，则不等式fx<0的解集是______．8.设b，c表示两条直线，σ，β表示两个平面，现给出下列命题：①若b⊂σ，c∥σ，则b∥c；②若b⊂a，b∥c，则c∥σ；③若c∥σ，σ⊥β，则c⊥β；④若c∥σ，c⊥β，则σ⊥β.其中正确的命题是______．9.以抛物线y2＝4x的焦点为焦点，以直线y＝±x为渐近线的双曲线标准方程为______．10.一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，若圆锥底面半径为3 cm，则圆锥的体积是______cm3.11.函数y＝asinax＋θa>0,θ≠
3、0图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为______．12.Sn是等差数列an的前n项和，若SnS2n=n+14n+2，则a3a5=______．第10页（共10页）13.函数fx＝x2−x,x>0,12−12+x,x≤0,若关于x的方程fx＝kx−k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为______．14.由sin36∘=cos54∘，可求得cos2016∘的值为______．二、解答题（共12小题；共156分）15.如图，四棱锥P−ABCD中，PD＝PC，底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD＝2A
4、B，点M是CD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：CD⊥PA．16.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，向量m=a−c,b+c，n=b−c,a，且m∥n.（1）求B；（2）若b=13，cosA+π6=33926，求a．17.如图，某工业园区是半径为10 km的圆形区域，离园区中心O点5 km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域．（1）设中心O对公路AB的视角为σ，求σ的最小值，并求较小区域面积的最小值；（2）为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条
5、与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值．18.已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，左顶点为A−3,0，圆心在原点的圆O与椭圆的内接三角形△AEF的三条边都相切．第10页（共10页）（1）求椭圆方程；（2）求圆O方程；（3）B为椭圆的上顶点，过B作圆O的两条切线，分别交椭圆于M，N两点，试判断并证明直线MN与圆O的位置关系．19.已知数列an的各项都为自然数，前n项和为Sn，且存在整数λ，使得对任意正整数n都有Sn=1+λan−λ恒成立．（1）求λ值，使得数列an为等差数列，并求
6、数列an的通项公式；（2）若数列an为等比数列，此时存在正整数k，当1≤k0，2a∈3,m+1，fx≥b2a−1e1a恒成立，求正数b的范围．21.在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P．求证：AP⋅AN＋BP⋅BM=AB2．22.如图，在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1E=CF=1．（1）求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值；（2）求直线BB1与平面BED1F所
7、成角的正弦值．23.证明：对一切正整数n，5n+2⋅3n−1+1能被8整除．24.求矩阵3113的特征值及对应的特征向量．第10页（共10页）25.已知直线l的极坐标方程为ρsinθ−π3=3，曲线C的参数方程为x=2cosθy=2sinθ（θ为参数），设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．26.设x，y均为正数，且x>y，求证：x+4x2−2xy+y2≥y+3．第10页（共10页）答案第一部分1.0,12.35−15i3.354.15.2406.137.−2,0∪2,+∞8.④9.x212−y212=110.3π1
8、1.2π12.3513.−13,1∪1,+∞14.−5+14第二部分15.（1）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，点M是CD的中点，所以AB∥CM，且AB＝CM，所以四边形ABCM是平行四边形，且是矩形．所
