2015年上海外国语大学附属外国语学校高二上学期数学期中考试试卷

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1、2015年上海外国语大学附属外国语学校高二上学期数学期中考试试卷一、填空题（共14小题；共70分）1.某礼堂有20排座位，第一排有18个座位，以后每排都比第一排多2个位置，这个礼堂共能坐 人．2.已知向量a=x,y，b=−1,2，且a+b=1,3，则∣a−2b∣等于 ．3.若数列an的前n项和Sn=4n2−5，则通项an= ．4.循环小数0.234化为最简分数ab，则a+b= ．5.向量a=sinθ,3，b=1,cosθ，其中θ∈−π2,π2，则a+b的范围是 ．6.若limn→∞2n+an2−2n−1bn+3=12，则a+b= ．7.已知数列an中，a1=−16，3an=3an−1+2n∈

2、N*，若anan+2<0，则n= ．8.数列an中，an≠0，a1=2且2anan−1+an−1−an=0n∈N*，则a15= ．9.已知数列an中，a1=−60，an+1=an+3，那么a1+a2+⋯+a30的值为 ．10.设数列an为无穷等比数列，且limn→∞a1+a2+a3+⋯+an=17，则a1的取值范围是 ．11.如图，已知正△A1B1C1的边长是1，面积是P1，取△A1B1C1各边的中点A2，B2，C2，△A2B2C2的面积为P2，再取△A2B2C2各边的中点A3，B3，C3，△A3B3C3的面积为P3，依此类推．记Sn=P1+P2+⋯+Pn，则limn→∞Sn= ．12.已知

3、数列an的通项an=2n−20152n−2016，则该数列中最大项是第 项．13.数列an的通项an=n2cos2nπ3−sin2nπ3，其前n项和为Sn，则S60= ．14.记号x表示不大于x的最大整数，数列an的通项an=1nn∈N*，Sn为an的前n项和，则S2500= ．二、选择题（共6小题；共30分）15.数列1，11+2，11+2+3，⋯，11+2+3+⋯+n的前n项和为  A.nn+1B.2nn+1C.2nn+1D.4nn+116.数列an中，an=1n2,1≤n≤1000n2n2−2n,n≥1001，则数列an的极限值为  A.等于0B.等于1C.等于0或1D.不存在第10页

4、（共10页）17.下列式子中（其中的a、b、c为平面向量），正确的是  A.AB−AC=BCB.ab⋅c=a⋅bcC.λμa=λμaλ,μ∈RD.0⋅AB=018.已知a=3，b=4，a+b⋅a+3b=33，则a与b的夹角为  A.π6B.π3C.2π3D.5π619.等差数列an，bn中的前n项和分别为Sn，Tn，SnTn=2n3n+1，则a10b10=  A.2031B.1929C.1728D.162720.已知数列an中a1=1，关于x的方程x2−an+1⋅tancosx+2an+1⋅tan1=0有唯一解，设bn=nan，数列bn的前n项和为Sn，则S9=  A.8143B.8152C

5、.8146D.8149三、解答题（共5小题；共65分）21.在数列an中，a1=2，且13an+1an=0n∈N*，数列an前n项和为Sn，求limn→∞Sn的值．22.设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn=nan−2nn−1n∈N*．（1）求证：数列an为等差数列，并求出其通项公式；（2）若S1+S22+S33+⋯+Smm=400，求正整数m的值．23.为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车．每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车120辆，混合动力型公交车300辆，计划以后电力型车

6、每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入m辆．设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，设Sn，Tn分别为n年里投入的电力型公交车，混合动力型公交车的总数量．（1）求Sn，Tn，并求n年里投入的所有新公交车的总数Fn；（2）该市计划用8年的时间完成全部更换，求m的最小值．24.已知OP=cosθ,sinθ，OQ=1+sinθ,1+cosθ，且0≤θ≤π．（1）求PQ模的最大值，并求出当∣PQ∣取最大值时θ的值；（2）当∣PQ∣取最大值时，求OP与OQ的夹角φ（用反三角函数表示）．25.如图，P1x1,y1，P2x2,y2，⋯，Pnxn,yn，⋯

7、是曲线C:y2=12xy≥0上的点，A1a1,0，A2a2,0，⋯，Anan,0，⋯是x轴正半轴上的点，且△A0A1P1，△A1A2P2，⋯，△An−1AnPn，⋯均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A0为坐标原点）．第10页（共10页）（1）写出an−1，an和xn之间的等量关系，以及an−1，an和yn之间的等量关系；（2）猜测并证明数列an的通项公式；（3）设bn=1an+1+1an+2+1an+3+⋯+