巧用数形结合构建高三数学高效课堂

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1、巧用“数形结合”构建高三数学高效课堂东莞中学数学科叶钦耀【摘要】数形结合的思想方法是数学中一种重要的思想方法，它可以使抽象的问题具体化、复杂的问题简单化，它既有数的严谨，又有形的直观，是优化数学解题的重要方法.笔者将数形结合思想作为高三数学教学的一条主线，渗透到各部分教学的内容之中，以达到突破教学难点构建高效课堂的目的.【关键词】数学教学；数形结合思想；高效课堂著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”[1].数形结合思想，就是在解决代数问题时，揭示出隐含在它内部的几何背景，启发思维，找到解题途径；或者在研究几何图形时，注意从代数的角度，通过

2、数量关系的研究来解决问题．近年来的高考试题，对数形结合思想的考察都占了较大的比例，高三数学教学任务重，在数形结合这方面要构建高效的课堂，教师除了训练学生做好数形“转化”这一关，还要引导学生学会选择合适的方法来增强自主发展意识．以下是自己在这方面的一些体会：1　数形结合思想的作用中学阶段的数学大致可以分为两个方面的内容：一方面为代数部分知识，另一方面就是几何部分知识[2]．数形结合的方法恰好可以在这两部分内容中间找到一个合适的连接点，把中学阶段的两部分内容有机地起来，即代数中有几何、几何中有代数，这就是数形结合的奇妙之处．研究发现，引导学生运用数形结合思想来解决数学问题，不但可以帮助学生开拓解

3、题思路，而且可以帮助学生充分开发大脑智力，养成形象思维的好习惯，还能够帮助学生在解题过程中找到简便方法．2　数形结合思想在数学解题中的运用数形结合有两种基本形式，一是“形”的问题转化为用数量关系去解决，运用代数、三角知识进行讨论，它往往把技巧性极强的推理论证转化可具体操作的代数运算，起到化难为易的作用．二是“数”的问题转化为图形的性质去解决，它往往具有直观性，易于被学生理解与接受的优点．运用数形结合思想解题，不仅直观而且易于帮助学生寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程．2.1　数形结合思想在解析几何中的运用解析几何是用代数方法研究几何问题，主要有两大任务：一是根据曲线的几何

4、条件，把它用方程的形式表示出来；二是通过曲线的方程来讨论它的几何性质．数形结合法是解决解析几何问题的核心方法．已知圆锥曲线上的两点关于某一特定直线对称，求某参数范围是解析几何中经常要解决的问题．我们通常的做法是运用不等式的思想或函数的思想引进新参量，建立函数关系式，转化为函数值域或构造关于参量的不等式，寻求参量的范围来解决．通过教学实践，笔者发现这两种方法虽然能够解决此类问题，但解答过程较为繁琐，对学生计算能力要求较高．而应用数形结合的方法能达到简化解题过程的目的，我们可以尝试寻求有关弦的中点轨迹，通过轨迹曲线与圆锥曲线的位置关系，利用数形结合思想寻求参量范围．例2.1已知椭圆C：，确定的取

5、值范围，使C上有不同的两点A、B关于直线L：对称.[3]解：设，，AB中点6则有：......①......②①-②得∵A、B关于L对称图2.1∴∴于是以为斜率的平行弦中点轨迹是直线在椭圆内部的一段，不包括端点.与　联立得两交点，，问题转化为L与线段,有交点问题.由图形知，当L过点时，最大值为，当L过点时，最小值为-.点评：从对本例的解答方法中可以看出，若直线L斜率已知，则可以转化为L与平行弦的中点轨迹相交问题处理，关键是寻求与已知直线垂直的平行弦的中点轨迹，然后再利用数形结合求参量范围．图中当L与A1B1有交点时，此交点恰是与L垂直的弦的中点，就保证了该弦的两端点关于L对称．所以只要L与平

6、行弦的中点轨迹有交点时，就能保证曲线上存在两点关于L对称．本题还可以设直线方程代入，利用判别式及韦达定理来求解．两种处理同样是运用数形结合思想来解答，因为切入点不同，所以计算量也有所不同，但如果能把繁琐的计算直观化，更有利于学生的接受和理解，使学生消除因繁琐的计算带来的负面的心理暗示，有利于高效课堂的构建．2.2　数形结合在不等式中的运用在处理不等式问题时，我们可以从题中的条件和结论出发，把不等式与函数相结合，把不等式问题转化为解决函数图像的问题，从而结合数形结合找出解题思路．例2.2若不等式，在内恒成立，则实数的取值范围是什么？[4]我们可以用数形结合的思想进行求解.6分析：原不等式可化为

7、，，设与，在坐标系中作出的图像，如图当时，，显然，当时，就恒成立.①当时，在上图像(如图2.2.1)在的图像下方，不合题意.②当时，在)上的图像（如图2.2.2）是减函数.只需，就可以使，恒成立.故，所以，综上有．图2.2.1图2.2.2点评：对于不等式，左边不能转化成学生熟悉的形式，所以引导学生利用数形结合的方法，通过整理不等式,确定对应是哪两种函数，再写出函数表达式并画出相应的函数图像，根据不等式的条件判