共点线的证明方法与塞瓦定理.doc

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1、共点线的证明方法与塞瓦定理所谓共点线就是指这些直线通过同一点．要证明三线共点，常常采用以下方法思考．1．证直线a、b、c共点，可先确定a、b交于一点P，然后在直线c上取两点Q、R，证明P、Q、R共线．这样就把共点线问题转化为共线点问题来解决了．2．证直线a、b、c共点，可先证a、b交于某点P，然后将P与c上一点Q连结，证明PQ与c重合．3．证明若干条直线共点，可证它们都通过某一特殊点．4．应用已知共点线定理等等．例14已知：⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，A、B、C分别为切点，AX、BY、CZ分别为公切线(图

2、1－44)．求征：AX、BY、CZ共点．证明由于O1、O2、O3不共线，∴AX、BY、CZ必两两相交．设AX、BY交于I，连结CI．如果CI不垂直O1O3，不妨设∠ICO1＞∠ICO3．则∠ICO1＞90°＞∠ICO3．∴∠ICO1＞∠IAO1，∠IBO3＞∠ICO3．但∠O1AC=∠O1CA，∠O3BC=∠O3CB，∴∠ICA＞∠IAC，∠IBC＞∠ICB，∴IA＞IC，IC＞IB．①但IA=IB，②这样，①与②矛盾．因此，IC不能不垂直于O1O3．由于CZ⊥O1O3，∴IC与CZ重合．∴AX、BY、CZ三

3、线共点．例15设在△ABC中，以BC为直径的圆交AB、AC于F、E，求证：圆在E、F的切线与高线AD共点．证明设H是△ABC的重心，M为一条切线EM与△ABC的高AD的交点，BHE、CHF分别为另外两条高线(图1－45)．则有∠MEH=∠MEB=∠ACB．又∵H、D、C、E四点共圆，∴∠ACB=∠MHE．因此，Rt△AEH中，∠MEH=∠MHE．∴∠MAE=∠MEA．∴MH=ME=MA．即M为AH的中点．同理，过F的圆的切线也过AH的中点M．例16塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别是△ABC三边BC、CA

4、、AB(或其延长线)上的点，则AX、BY、CZ三线共点或互相平行的充要条件为证明(1)必要性设AX、BY、CZ交于一点O(图1－46)．因为直线BOY截△AXC，直线COZ截△ABX，所以根据梅内劳斯定理，有以上两式相乘，得：如果AX、BY、CZ互相平行(图1－47)，这时显然有　(2)充分性如果X、Y、Z分别为△ABC三边BC、AC、AB(或其延长线)上的点，且那么若BY、CZ交于一点O，连AO并延长交BC边于X′点(图1－46)，根据(1)则有即X、X′同时内分或外分BC，且比值相等．因此，X′与X必重合

5、．所以AX、BYCZ三线共点．假如BY∥CZ，则过A作AX′∥BY，交BC于X′点(图1-47)．那么和已知条件相比较，有因此，X′必与X重合．∴AX∥BY∥CZ．例17设AD、BE、CF为△ABC的三条高线，求证：AD、BE、CF三线共点(图1－48)．证明∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F．∴△BAD∽△BCF．同理，△CBE∽△CAD，①、②、③式相乘，得由于三角形三条高线不可能平行(否则三角形的三边平行或成一条直线)，所以由塞瓦定理，有AD、BE、CF三线共点．