2014年天津文

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1、2014年天津文一、选择题（共8小题；共40分）1.i是虚数单位，复数7+i3+4i= ()A.1−iB.−1+iC.1725+3125iD.−177+257i2.设变量x，y满足约束条件x+y−2≥0,x−y−2≤0,y≥1,则目标函数z=x+2y的最小值为 ()A.2B.3C.4D.53.已知命题p:∀x>0，总有x+1ex>1，则¬p为 ()A.∃x0≤0，使得x0+1ex0≤1B.∃x0>0，使得x0+1ex0≤1C.∀x>0，总有x+1ex≤1D.∀x≤0，总有x+1ex≤14.设a=log2π，b=log12π，c=π−2，则 ()A.a

2、>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a5.设an是首项为a1，公差为−1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1,S2,S4成等比数列，则a1= ()A.2B.−2C.12D.−126.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为 ()A.x25−y220=1B.x220−y25=1C.3x225−3y2100=1D.3x2100−3y225=17.如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点

3、F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD⋅FA；③AE⋅CE=BE⋅DE；④AF⋅BD=AB⋅BF．则所有正确结论的序号是 ()A.①②B.③④C.①②③D.①②④8.已知函数fx=3sinωx+cosωxω>0，x∈R．在曲线y=fx与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则fx的最小正周期为 ()A.π2B.2π3C.πD.2π二、填空题（共6小题；共30分）9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一

4、年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取 名学生．10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m3．11.阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为 ．12.函数fx=lgx2的单调递减区间是 ．13.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120∘，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF．若AE⋅AF=1，则λ的值为 ．14.已知函数fx=x2+5x+4,x≤0,2x−2,x>0,若函数y=fx−ax恰有4个零点，则实数a的取值范围为 ．三、解答题（共6小题；共7

5、8分）15.某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）．Ⅰ用表中字母列举出所有可能的结果；Ⅱ设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．16.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a−c=66b，sinB=6sinC．Ⅰ求cosA的值；Ⅱ求cos2A−π6的值．17.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=2，AD=2，PA=P

6、D=5，E,F分别是棱AD,PC的中点．Ⅰ证明：EF∥平面PAB；Ⅱ若二面角P−AD−B为60∘，①证明：平面PBC⊥平面ABCD；②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．18.设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，右顶点为A，上顶点为B．已知AB=32F1F2．Ⅰ求椭圆的离心率；Ⅱ设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切与点M，MF2=22．求椭圆的方程．19.已知函数fx=x2−23ax3a>0，x∈R．Ⅰ求fx的单调区间和极值；Ⅱ若对于任意的x1∈2,+∞，都存在x

7、2∈1,+∞，使得fx1⋅fx2=1，求a的取值范围．20.已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M=0,1,2,⋯,q−1，集合A=xx=x1+x2q+⋯+xnqn−1,xi∈M,i=1,2,⋯,n．Ⅰ当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；Ⅱ设s,t∈A，s=a1+a2q+⋯+anqn−1，t=b1+b2q+⋯+bnqn−1，其中ai,bi∈M，i=1,2,⋯,n．证明：若an

8、_{1}·S_{4}，则（a_{1}+a_{1}-1）^2=a_{1}（4a_{1}-6），解得a_{1}=