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1、2011年天津文一、选择题（共8小题；共40分）1.i是虚数单位，复数3+i1−i=______A.1+2iB.2+4iC.−1−2iD.2−i2.设变量x，y满足约束条件x≥1,x+y−4≤0,x−3y+4≤0,则目标函数z=3x−y的最大值为______A.−4B.0C.43D.43.阅读程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为−4，则输出y的值为______A.0.5B.1C.2D.44.设集合A=x∈R x−2>0，B=x∈R x<0，C=x∈R xx−2>0，则"x∈A∪B"是"x∈C"的______A.
2、充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知a=log23.6，b=log43.2，c=log43.6，则______A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b6.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左顶点与抛物线y2=2pxp>0的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为−2,−1，则双曲线的焦距为______A.23B.25C.43D.457.已知函数fx=2sinωx+φ，x∈R，其中ω>0，−π<φ≤π，若fx的最小正周期为6
3、π，且当x=π2时，fx取得最大值，则______A.fx在区间−2π,0上是增函数B.fx在区间−3π,−π上是增函数C.fx在区间3π,5π上是减函数第7页（共7页）D.fx在区间4π,6π上是减函数8.对实数a和b，定义运算"⊗"：a⊗b=a,a−b≤1b,a−b>1．设函数fx=x2−2⊗x−1,x∈R．若函数y=fx−c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是______A.−1,1∪2,+∞B.−2,−1∪1,2C.−∞,−2∪1,2D.−2,−1二、填空题（共6小题；共30分）9.已知集合A=x∈R
4、x−1<2，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于______．10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为______m3．11.已知an为等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*，若a3=16，S20=20，则S10的值为______．12.已知log2a+log2b≥1，则3a+9b的最小值为______．13.如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=2，AF:FB:BE=4:2:1．若CE与圆相切，则CE的长为______．14.已知直角梯形ABCD中，A
5、D∥BC，∠ADC=90∘，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则PA+3PB的最小值为______．三、解答题（共6小题；共78分）15.编号分别为A1，A2，⋯，A16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138（1）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间10,2020,3030,40人数（2）从得分在区间20,30内的运动员中随机抽取2人
6、，第7页（共7页）（i）用运动员编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50的概率．16.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知B=C，2b=3a．（1）求cosA的值；（2）cos2A+π4的值．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45∘，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面 ABCD，PO=2，M为PD中点．（1）证明：PB∥平面 ACM；（2）证明：AD⊥平面 PAC；（3）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．18.设椭圆x2a2+y2b
7、2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2．点Pa,b满足∣PF2∣=∣F1F2∣.（1）求椭圆的离心率e；（2）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆x+12+y−32=16相交于M，N两点，且∣MN∣=58∣AB∣，求椭圆的方程．19.已知函数fx=4x3+3tx2−6t2x+t−1,x∈R，其中t∈R．（1）当t=1时，求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；（2）当t≠0时，求fx的单调区间；（3）证明：对任意的t∈0,+∞，fx在区间0,1内均存在零点．20.已知数列an与bn满足：bn+1an
8、+bnan+1=−2n+1，bn=3+−1n−12，n∈N*，且a1=2．（1）求a2，a3的值；（2）设cn=a2n+1−a2n−1，n∈N*，证明：数列cn是等比数列；（3）设Sn为an的前n项和，证明S1a1+S2a2+⋯+S2n−1a2n−1+S2na2n≤n−13n∈N*.第7页（共7页）答案第一部分1.A
