2010年北京东城区高考一模试题：数学（理）(1)

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1、2010年北京东城区高考一模试题：数学（理）(1)一、选择题（共1小题；共5分）1.如图，已知AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP=4,PB=2，则PC的长是______A.3B.22C.2D.2二、解答题（共6小题；共78分）2.如图1所示，在边长为12的正方形ADD1A1中，点B、C在线段AD上，且AB=3，BC=4，作BB1∥AA1，分别交A1D1、AD1于点B1，P，作CC1∥AA1，分别交A1D1、AD1于点C1，Q，将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得DD1与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC−A1B1C1．（1）求证：AB⊥ 平面 BCC

2、1B1；（2）求四棱锥A−BCQP的体积；（3）求平面PQA与平面BCA所成锐二面角的余弦值．3.设函数fx=3sinxcosx−cosxsinπ2+x−12．（1）求fx的最小正周期；（2）当x∈0,π2时，求函数fx的最大值和最小值．4.在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如图：（1）计算样本的平均成绩及方差；第5页（共5页）（2）现从这10个个体中随机抽出2名学生的成绩，设选出学生的分数为90分以上的人数为X，求随机变量X的分布列和均值．5.已知函数fx=alnx−1x，a∈R．（1）若曲线y=fx在点1,f1处的切线与直线x+2y=0垂直，求

3、a的值；（2）求函数fx的单调区间；（3）当a=1，且x≥2时，证明：fx−1≤2x−5．6.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x−y+6=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设P4,0，A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴交于定点Q；（3）在（2）条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求OM⋅ON的取值范围．7.已知数列xn满足x1=4，xn+1=xn2−32xn−4．（1）求证：xn>3；（2）求证：xn+1

4、页）答案第一部分1.B第二部分2.（1）在正方形ADD1A1中，因为CD=AD−BC−AB=5，所以三棱柱ABC−A1B1C1的底面三角形ABC的边AC=5．因为AB=3，BC=4，所以AB2+BC2=AC2，所以AB⊥BC．因为四边形ADD1A1为正方形，AA1∥BB1，所以AB⊥BB1，而BC∩BB1=B，所以AB⊥ 平面 BCC1B1．    （2）因为AB⊥ 平面 BCC1B1，所以AB为四棱锥A−BCQP的高．因为四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3,CQ=AB+BC=7,所以梯形BCQP的面积为SBCQP=12BP+CQ×BC=20,所以四棱锥A−BCQP的体积为VA−BCQ

5、P=13SBCQP×AB=20.    （3）由（1）、（2）可知，AB、BC、BB1两两互相垂直．以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B−xyz．A0,0,3,B0,0,0,C4,0,0,P0,3,0,Q4,7,0,所以AP=0,3,−3,AQ=4,7,−3,设平面PQA的一个法向量为n1=x,y,z，则n1⋅AP=0,n1⋅AQ=0,即3y−3z=0,4x+7y−3z=0,令x=−1，则n1=−1,1,1.显然，平面BCA的一个法向量为n2=0,1,0.设平面PQA与平面BCA所成锐二面角为θ，则cosθ=cosn1,n2=n1⋅n2n1n2=33.所以平面PQA与平面BCA所成锐二面

6、角的余弦值为33．3.（1）因为fx=3sinxcosx−cosxsinπ2+x−12=32sin2x−cos2x−12=32sin2x−12cos2x−1=sin2x−π6−1.所以T=2π2=π，故fx的最小正周期为π．    （2）因为0≤x≤π2，所以−π6≤2x−π6≤5π6，所以当2x−π6=π2，即x=π3时，fx有最大值0；当2x−π6=−π6，即x=0时，fx有最小值−32．4.（1）样本的平均成绩为x=80；方差为s2=11092−802+98−802+⋯+60−802=175.    （2）由题意，随机变量X=0,1,2，且PX=0=C72C102=715,PX=1=C3

7、1C71C102=715,PX=2=C32C102=115.故随机变量X的分布列为X012P715715115均值EX=0×715+1×715+2×115=35．第5页（共5页）5.（1）函数fx的定义域为xx>0，fʹx=ax+1x2．又曲线y=fx在点1,f1处的切线与直线x+2y=0垂直，所以fʹ1=a+1=2，即a=1．    （2）由于fʹx=ax+1x2.当a≥0时，对于x∈0,+∞，