2005年北京市西城区二模

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1、2005年北京市西城区二模一、选择题（共8小题；共40分）1.如果复数1+ai2+i的实部和虚部相等，则实数a等于______A.−1B.13C.12D.12.已知集合M=xx2−4<0，N=xx=2n+1,n∈Z，则集合M∩N等于______A.−1,1B.−1,0,1C.0,1D.−1,03.下列函数中既是奇函数，又在区间0,+∞上单调递增的是______A.y=sinxB.y=−x2C.y=lg2xD.y=e∣x∣4.若limx→1x2+ax+2x3+2=3，则a=______A.1B.2C.3D.65.球O的截面把垂直于截面的直径分成

2、1:3两部分，若截面圆半径为3，则球O的体积为______A.16πB.16π3C.32π3D.43π6.设A为圆x−12+y2=1上动点，PA是圆的切线，且∣PA∣=1，则P点的轨迹方程为______A.x−12+y2=4B.x−12+y2=2C.y2=2xD.y2=−2x7.函数fx=sinx+4sinx,x∈0,π，则下列命题正确的是______A.fx是奇函数B.fx>4C.fx的最小值是4D.fx有最大值8.若不等式1−an−alga<0对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是______A.a ∣ a>1B.a  0

3、C.a  01D.a  01二、填空题（共6小题；共30分）9.已知∣a∣=2，∣b∣=2，a与b的夹角为45∘，则b−a⋅a=______．10.抛物线y2=2px过点M2,2，则点M到抛物线准线的距离为______．11.一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：10,202个；20,303个；30,40x个；40,505个；50,604个；60,702个，并且样本在30,40之内的频率为0.2．则x等于______；根据样本的频率分布估计，数据落在10,50的概率约为______．12.设

4、函数y=fx的图象关于直线x=1对称，当x≤1时，y=−x2+1，则f4=______；当x>1时，fx=______．13.如图，在三棱锥P−ABC中，∠ABC=∠PBC=90∘，三角形PAB是边长为1的正三角形，BC=1，M是PC的中点，则M到平面PAB的距离等于______；若点N在棱AB上，且满足AB⊥MN，则线段AN的长度为______．14.如图所示的流程图是将一系列指令和问题用框图的形式排列而成，箭头将告诉你下一步到哪一个框图．阅读下边的流程图，并回答下面问题：若a>b>c，则输出的数是______；若a=1213，b=23，c

5、=log32，则输出的数是______．（用字母a,b,c填空）三、解答题（共5小题；共65分）15.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，tanA=12，cosB=31010．（1）求tanC的值；（2）若△ABC最长的边为1，求最短边的长．16.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an−2n=1,2,3,⋯．数列bn中，b1=1，点Pbn,bn+1在直线x−y+2=0上．（1）求数列an，bn的通项an，bn；（2）若Tn为数列bn的前n项和，证明：当n≥2时，2Sn>Tn+3n．17.已知A袋中有4个白球，2个黑球；B

6、袋中有3个白球，4个黑球．（1）从A袋中任取2球，求取出的2球均为白球的概率；（2）从A袋中任取1球，取出后放回，连续取三次（每次彼此独立）．设ξ为三次取球过程中取到白球的次数，求Pξ=2及Eξ；（3）从A，B两个袋中各取2个球交换，求A袋中仍恰有4个白球的概率．18.如图，B−c,0,Cc,0,AH⊥BC，垂足为H，且BH=3HC．（1）若AB⋅AC=0，求以B、C为焦点并且经过点A的椭圆的离心率；（2）D分有向线段AB的比为λ，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上，当−5≤λ≤−72时，求椭圆的离心率e的取值范围．19.已知函数fx=12x2

7、+lnx．（1）求函数fx在区间1,e上的最大值、最小值；（2）求证：在区间1,+∞上函数fx的图象在函数gx=23x3图象的下方；（3）请你构造函数φx，使函数Fx=fx+φx在定义域0,+∞上存在两个极值点，并证明你的结论．答案第一部分1.B2.A3.C4.D5.C6.B7.B8.C第二部分9.−210.5211.4；0.712.−3；−x2+4x−313.12；3414.a；a第三部分15.（1）因为cosB=31010，所以B为锐角．所以sinB=1−cos2B=1010．所以tanB=13．又tanA=12，所以tanA+B=tan

8、A+tanB1−tanAtanB=1．所以tanC=tanπ−A−B=−1．      （2）因为tanC=−1，0∘