【高考调研】2015年江苏南京高三数学调研试卷

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1、【高考调研】2015年江苏南京高三数学调研试卷一、填空题（共14小题；共70分）1.函数fx=cos2x−sin2x的最小正周期为______．2.已知复数z=11+i，其中i是虚数单位，则∣z∣=______．3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取______名学生．4.从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是______．5.已知向量a=2,1，b=0,−1

2、．若a+λb⊥a，则实数λ=______．6.图中是一个算法流程图，则输出S的值是______．7.已知双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的渐近线方程为y=±3x，则该双曲线的离心率为______．8.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是______．9.设fx=x2−3x+a，若函数fx在区间1,3内有零点，则实数a的取值范围为______．10.在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．已知a+2c=2b，sinB=2sinC，则cosA=____

3、__．11.若fx=ax,x≥1−x+3a,x<1是R上的单调函数，则实数a的取值范围为______．12.数列an的前n项和为Sn，若a1=1，Sn=2a1+an（n≥2，n∈N*），则Sn=______．13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x2+y2−6x+5=0，点A，B在圆C上，且AB=23，则OA+OB的最大值是______．14.已知函数fx=x−1−e−1lnx，其中e为自然对数的底，则满足fex<0的x的取值范围为______．二、解答题（共12小题；共156分）15.已知函

4、数fx=2sin2x+φ0<φ<2π的图象过点π2,−2．（1）求φ的值；（2）若fα2=65，−π2<α<0，求sin2α−π6的值．16.如图所示，三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．（1）求证：MN∥平面AA1C1C；（2）若CC1=CB1，CA=CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB⊥平面CMN．17.已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=21，S4+b4=30．（1）求数列an和bn的通项公式；（2）记cn

5、=anbn，n∈N*，求数列cn的前n项和．18.给定椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，称圆C1:x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为32，且经过点0,1．（1）求实数a，b的值；（2）若过点P0,mm>0的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为22，求实数m的值．19.如图（示意），公路AM，AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα=−2．在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3 km，5

6、 km．现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小?并求最小面积．20.已知函数fx=ax3+∣x−a∣,a∈R．（1）若a=−1，求函数y=fxx∈0,+∞的图象在x=1处的切线方程；（2）若gx=x4，试讨论方程fx=gx的实数解的个数；（3）当a>0时，若对于任意的x1∈a,a+2，都存在x2∈a+2,+∞，使得fx1fx2=1024，求满足条件的正整数a的取值的集合．21.如图，PA是圆O的切

7、线，A为切点，PO与圆O交于点B，C，AQ⊥OP，垂足为Q．若PA=4，PC=2，求AQ的长．22.已知矩阵A=2b13属于特征值λ的一个特征向量为α=1−1．（1）求实数b，λ的值；（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为Cʹ：x2+2y2=2，求曲线C的方程．23.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x=3+32t,y=2+12t（t为参数），圆C的参数方程为x=3+cosθ,y=sinθ（θ为参数）．若点P是圆C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．24.已知a，b

8、是正数，且a+b=1，求证：ax+bybx+ay≥xy．25.如图，已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，CC1=5，E是棱CC1上不同于端点的点，且CE=λCC1．（1）当∠BEA1为钝角时，求实数λ的取值范围；（2）若λ=25，记二面角B1−A1B−E的的大小为θ，求cosθ．26.某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有1个红球，1个白球，3个黑球的袋中一次随机地摸2个球，设计奖励方式如下表：结果奖励1红1白10元1红1黑5元2黑2元1白1黑