7.2两直线位置关系

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1、7.2两直线的位置关系●知识梳理1.平行与垂直若直线l1和l2有斜截式方程l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则（1）直线l1∥l2的充要条件是k1=k2且b1≠b2.（2）直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2=－1.若l1和l2都没有斜率，则l1与l2平行或重合.若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l1⊥l2.2.相交（1）两条直线l1：y=k1x+b1和l2：y=k2x+b2相交得到两类角：“到角”和“夹角”.①到角：直线l1到l2的角是指l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角.设l1到l2的角为θ1，l2到l1的角为θ2，则有θ1∈（0，π）

2、，θ2∈（0，π），且θ1+θ2=π.当k1k2≠－1时，有公式tanθ1=.当k1k2=－1时，l1⊥l2，θ1=θ2=.②夹角：l1到l2的角θ1和l2到l1的角θ2中不大于90°的角叫l1和l2的夹角.设为α，则有α∈（0，］，当α≠时，有公式tanα=

3、

4、.如果直线l1和l2中有一条斜率不存在，“到角”和“夹角”都可借助于图形，通过直线的倾斜角求出.的解一一对应.（2）交点：直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解.

5、重合方程组有无数解.3.点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d=.两平行线l1：Ax+By+C1=0和l2：Ax+By+C2=0之间的距离d=.●点击双基1.点（0，5）到直线y=2x的距离为A.B.C.D.解析：a==.答案：B2.三直线ax+2y+8=0，4x+3y=10，2x－y=10相交于一点，则a的值是A.－2B.－1C.0D.1解析：解方程组4x+3y=10，2x－y=10，得交点坐标为（4，－2），代入ax+2y+8=0，得a=－1.答案：B3.直线x+y－1=0到直线xsinα+ycosα－1=0（＜α＜)的角是A.α－B.－αC.α－D.－α

6、解析：由tanθ===tan（－α）=tan（－α），∵＜α＜，－＜－α＜0，＜－α＜π，∴θ=－α.答案：D4.已知点P是直线l上的一点，将直线l绕点P逆时针方向旋转角α（0°<α<90°），所得直线方程是x－y－2=0，若将它继续旋转90°－α角，所得直线方程是2x+y－1=0，则直线l的方程是____________.解析：∵直线l经过直线x－y－2=0和2x+y－1=0的交点（1，－1），且又与直线2x+y－1=0垂直，∴l的方程为y+1=（x－1），即x－2y－3=0.答案：x－2y－3=05.若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a－1）y+（a2－1）

7、=0平行且不重合，则a的值是____________.解析：利用两直线平行的条件.答案：－1●典例剖析【例1】等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x－2y－2=0，底边所在直线l2的方程是x+y－1=0，点（－2，0）在另一腰上，求该腰所在直线l3的方程.剖析：依到角公式求出l3的斜率，再用点斜式可求l3的方程.解：设l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2，则k1=，k2=－1，tanθ1===－3.∵l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形，∴θ1=θ2，tanθ1=tanθ2=－3，即=－3，=－3，解得k3=2.又∵直线

8、l3经过点（－2，0），∴直线l3的方程为y=2（x+2），即2x－y+4=0.评述：本题根据条件作出合理的假设θ1=θ2，而后利用直线到直线所成角的公式，最后利用点斜式，求出l3的方程.思考讨论用夹角公式会产生什么问题，怎样去掉增解?【例2】已知两直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：（m－2）x＋3my＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2（1）相交；（2）平行；（3）重合?剖析：依据两直线位置关系判断方法便可解决.解：当m=0时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，∴l1∥l2.当m=2时，l1：x＋4y＋6＝0，l2：3y＋2＝0，∴l1与l2相交.当m≠0且m≠2时，由＝得

9、m=－1或m=3，由＝得m＝3.故（1）当m≠－1，m≠3且m≠0时，l1与l2相交；（2）当m＝－1或m＝0时，l1∥l2；（3）当m＝3时，l1与l2重合.评述：对这类问题要从有斜率、没斜率两方面进行考虑.深化拓展不讨论有斜率、没斜率能直接求解吗?【例3】已知点P（2，－1），求：（1）过P点与原点距离为2的直线l的方程；（2）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少?（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线?若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.剖析：已知直线过定点求方程，首先想到的是