你中有我 动静相映.doc

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1、你中有我动静相映——谈“函数与方程思想”专题复习舒晓懿（湖北宜昌兴山一中）摘要：函数与方程思想是高中重要思想方法之一，针对学生理解障碍的分析，探讨帮助学生理解函数与方程思想方法的途径，使得学生能够把握这一思想方法的本质并能熟练应用这一思想方法求解数学试题。关键词：函数思想；方程思想；理解障碍；专题复习。1997年开始将数学思想方法正式列入《高考考试说明》之中，函数与方程的思想是中学数学的基本思想方法之一，也是历年高考考查的考查重点，以2012年湖北数学高考考试题为例：思想方法科别客观题（序号）解答题(序号)函数思想文科1、6、14、1718、22理科3、

2、9、13、1417、19、22方程思想文科1、3、5、7、1220、21、22理科1、5、6、7、9、10、11、14、1618、21函数与方程思想的内涵及基本应用屡见报刊，文[1]有很好的讨论，本文不再赘述，本文主要从学生一些常见错误根源入手，来谈谈笔者的看法，愿与同行商榷。一、多元表征，把握实质——准确把握函数与方程思想应用的基础在函数应用中，很多学生狭隘的将定义为自变量，定义为变量；在方程应用中，学生片面的认为就是解方程、求零点等。关注所研究对象的非数学特征，对函数概念狭隘的理解，不能用联系和变化的观点抽象其数学本质，是学生不能很好理解函数与方程思

3、想的根源。例1：（经典试题）设不等式对于满足的一切的值都成立，求的取值范围。解法一：（变换主元法）设则恒成立等价于：且所以解法二：（分离变量法）将不等式转化为或，再求解。变式1：设不等式对于满足的一切的值都成立，求的取值范围。例题解析及教学建议：对于解法1，众说纷纭：“此解法学生只停留在欣赏层面”、“此解法不具备通性，可以用分离变量法”（文[2]等）。。。。。。等等不一而足，但文[2]指出这些评论都没有回答一个事实：学生为何不能掌握这种解法？文[3]进一步指出：把第一种方法抽象为原象集：，象集：负实数集；对应法则为：。那么变式1和例题不仅形似，实质也一样

4、了；解法2的实质也就是求解函数的值域了。文[3]从如何解释解法一、二进行了深入的讨论，笔者对例2进行讨论，笔者力图寻找学生思维障碍形成的根源。例2：（2012年浙江文科T21）已知a∈R，函数.（1）略；（2）证明：当时，。解析：原式有两个变量，解题时学生习惯性将作为主元，作为参数进行讨论，此高考参考解法在此不再展开。那么，选择作为主元，作为参数呢？就得到如下解法2：解2(文[4])：要证明当0≤x≤1时，f(x)+＞0，不妨设=因为,在上是减函数，在上是增函数，因为再设求导求得函数在是减函数，在是增函数所以，则命题得证。变式2：（2012年浙江理科T2

5、2）已知函数（1）证明：；（2）略。例题解析及教学建议：第一轮复习已经完成，学生初步具备了理解数学的素材。在专题复习中，教师要将这些素材有机的结合在一起，进一步从数学试题中抽象出数学概念（如例1）的本质，帮助学生建立知识与思想的网络。数学是由符号语言、文字语言、图形语言构成，长期以来，教材、教师教学中多用x表示自变量，y表示变量,使学生形成了思维定势，对变式1学生可以自然的选取“讨论单调性法”、“分离变量法”来求解试题，而对例1却一筹莫展或者只是记忆性的求解，认为字母a,b,c…等只能是参数，函数就是关于“字母x”的表达式，这是学生理解函数与方程思想障碍

6、的根源之一，进而妨碍了学生自觉应用函数思想分析、求解试题。例2实测难度值为0.18，变式2的得分更低，这就是一个很好的例证。函数与方程都是分析和研究数量关系的一种数学模型，例2有2个未知量，变式2有三个未知量，其实质都是变量之间的对应关系，因此，在专题复习中，帮助学生建立量与量的对应思想，合理的选择变量之间的对应关系有利于学生建立函数与方程思想。在例题教学中，要引导学生思考：哪些是变量？那些不是变量？能否把变量看成变量的函数等？只有不唯x是自变量，对变式2才能展开深入分析，才能创造出新解法。二、目标引领，构建函数——深入理解函数与方程思想求解的思路在求解

7、诸如单调性、对称性、方程、求根等试题时学生可以自觉应用函数与方程的思想与方法，学生思维往往只停留在试题的表面形态上，如下例3（1）解题困难在于学生思维只停留在数列方法中，对于（2）学生高度一致的选择均值不等式来求解，求解（3）时想不起构建函数，学生多将此题的难点归结为向量知识理解不透所致。例3、（1）（2010年浙江高考理科）设为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围为（2）（2011年浙江高考理科）设实数，若，则的最大值是（3）（2009年安徽高考理科）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°。如图所示，点C在以O为圆心

8、的圆弧上变动.若，其中，则x+y的最大值是.解析：（1）学生应用等差数列的基本公