全国初中数学竞赛辅导(初2)第12讲 平行四边形.doc

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1、第十二讲平行四边形  平行四边形是一种极重要的几何图形.这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础,还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形,并且包含着有关平行线的许多性质,因此,它在几何图形的研究上有着广泛的应用.  由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质:  (1)平行四边形对角相等;  (2)平行四边形对边相等;  (3)平行四边形对角线互相平分.  除了定义以外,平行四边形还有以下几种判定方法:  (1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;  (2)两组对边分别相等的四边形是平

2、行四边形;  (3)对角线互相平分的四边形是平行四边形;  (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.  例1如图2-32所示.在ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,DN=BM.求证:EF与MN互相平分.  分析只要证明ENFM是平行四边形即可,由已知,提供的等量要素很多,可从全等三角形下手.  证因为ABCD是平行四边形,所以ADBC,ABCD,∠B=∠D.  又AE⊥BC,CF⊥AD,所以AECF是矩形,从而AE=CF.  所以  Rt△ABE≌Rt△CDF(HL,或AAS),BE=DF.又由已知BM=DN,所以△

3、BEM≌△DFN(SAS),  ME=NF.①  又因为AF=CE,AM=CN,∠MAF=∠NCE,所以△MAF≌△NCE(SAS),  所以MF=NF.②  由①,②,四边形ENFM是平行四边形,从而对角线EF与MN互相平分.  例2如图2-33所示.Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BG平分∠ABC,EF∥BC且交AC于F.求证:AE=CF.  分析AE与CF分处于不同的位置,必须通过添加辅助线使两者发生联系.若作GH⊥BC于H,由于BG是∠ABC的平分线,故AG=GH,易知△ABG≌△HBG.又连接E

4、H,可证△ABE≌△HBE,从而AE=HE.这样,将AE“转移”到EH位置.设法证明EHCF为平行四边形,问题即可获解.  证作GH⊥BC于H,连接EH.因为BG是∠ABH的平分线,GA⊥BA,所以GA=GH,从而△ABG≌△HBG(AAS),  所以AB=HB.①  在△ABE及△HBE中,∠ABE=∠CBE,BE=BE,  所以△ABE≌△HBE(SAS),  所以AE=EH,∠BEA=∠BEH.  下面证明四边形EHCF是平行四边形.  因为AD∥GH,所以  ∠AEG=∠BGH(内错角相等).②  又∠AEG=∠G

5、EH(因为∠BEA=∠BEH,等角的补角相等),∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等),所以∠AGB=∠GEH.  从而EH∥AC(内错角相等,两直线平行).  由已知EF∥HC,所以EHCF是平行四边形,所以FC=EH=AE.  说明本题添加辅助线GH⊥BC的想法是由BG为∠ABC的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等),从而构造出全等三角形ABG与△HBG.继而发现△ABE≌△HBE,完成了AE的位置到HE位置的过渡.这样,证明EHCF是平行四边形就是顺理成章的了.  人们在学习中,经过刻苦钻研,形

6、成有用的经验,这对我们探索新的问题是十分有益的.  例3如图2-34所示.ABCD中,DE⊥AB于E,BM=MC=DC.求证:∠EMC=3∠BEM.  分析由于∠EMC是△BEM的外角,因此∠EMC=∠B+∠BEM.从而,应该有∠B=2∠BEM,这个论断在△BEM内很难发现,因此,应设法通过添加辅助线的办法,将这两个角转移到新的位置加以解决.利用平行四边形及M为BC中点的条件,延长EM与DC延长线交于F,这样∠B=∠MCF及∠BEM=∠F,因此,只要证明∠MCF=2∠F即可.不难发现,△EDF为直角三角形(∠EDF=90°

7、)及M为斜边中点,我们的证明可从这里展开.  证延长EM交DC的延长线于F,连接DM.由于CM=BM,∠F=∠BEM,∠MCF=∠B,所以△MCF≌△MBE(AAS),  所以M是EF的中点.由于AB∥CD及DE⊥AB,所以,DE⊥FD,三角形DEF是直角三角形,DM为斜边的中线,由直角三角形斜边中线的性质知∠F=∠MDC,  又由已知MC=CD,所以∠MDC=∠CMD,  则∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F.  从而∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM.  例4如图2-35所示.矩形ABCD中,CE⊥BD于E

8、,AF平分∠BAD交EC延长线于F.求证:CA=CF.  分析只要证明△CAF是等腰三角形,即∠CAF=∠CFA即可.由于∠CAF=45°-∠CAD,所以,在添加辅助线时,应设法产生一个与∠CAD相等的角a,使得∠CFA=45°-a.为此,延长DC交AF于H,并设AF与BC交于G,我们不难证明∠FCH=

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