全国初中数学竞赛辅导（初1）第12讲平行线问题

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1、第十二讲平行线问题　　平行线是我们日常生活中非常常见的图形．练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段．　　正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识．　　正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象．历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何)，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用．　　现行中学中所学的几何是

2、属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理基础之上的：“在平面中，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”．　　在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理．下面我们举例说明这些知识的应用．　　例1如图1－18，直线a∥b，直线AB交a与b于A，B，CA平分∠1，CB平分∠2，求证：∠C=90°．　　分析由于a∥b，∠1，∠2是两个同侧内角，因此∠1+∠2=过C点作直线l，使l∥a(或b)即可通过平行线的性质实现等角转移．　　　证过C点作直线l，使l∥a(图1－19)．因为a∥b，所以b∥l，所以∠1+∠2=

3、180°(同侧内角互补)．　　因为AC平分∠1，BC平分∠2，所以　　又∠3=∠CAE，∠4=∠CBF(内错角相等)，所以∠3+∠4=∠CAE+∠CBF　　说明做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立，即“两条直线a，b被直线AB所截(如图1－20所示)，CA，CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线，若∠C=90°，问直线a与直线b是否一定平行？”　　由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置)，因此，不妨模仿原问题的解决方法来试解．　　例2如图1－21所示，AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2．　　　分析

4、本题对∠A1，∠A2，∠B1的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的三个角的大小无关．也就是说，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案应是确定的．我们从图形直观，有理由猜想答案大概是零，即∠A1+∠A2=∠B1．①　　猜想，常常受到直观的启发，但猜想必须经过严格的证明．①式给我们一种启发，能不能将∠B1一分为二使其每一部分分别等于∠A1与∠A2．这就引发我们过B1点引AA1(从而也是BA2)的平行线，它将∠B1一分为二．　　证过B1引B1E∥AA1，它将∠A1B1A2分成两个角：∠1，∠2(如图1－22所示)

5、．　　因为AA1∥BA2，所以B1E∥BA2．从而∠1=∠A1，∠2=∠A2(内错角相等)，　　所以∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2，　　即∠A1-∠B1+∠A2=0．　　说明(1)从证题的过程可以发现，问题的实质在于AA1∥BA2，它与连接A1，A2两点之间的折线段的数目无关，如图1－23所示．连接A1，A2之间的折线段增加到4条：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2．　　(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0．　　进一步可

6、以推广为∠A1-∠B1+∠A2-∠B2＋…-∠Bn-1+∠An=0．　　这时，连结A1，An之间的折线段共有n段A1B1，B1A2，…，Bn-1An(当然，仍要保持AA1∥BAn)．　　推广是一种发展自己思考能力的方法，有些简单的问题，如果抓住了问题的本质，那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况．　　(2)这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题．　　问题1如图1－24所示．∠A1+∠A2=∠B1，问AA1与BA2是否平行？　　问题2如图1－25所示．若∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…

7、+∠Bn-1，问AA1与BAn是否平行？　　这两个问题请同学加以思考．　　例3如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，　　　求∠C．　　分析利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能将∠1，∠2，∠C“集中”到一个顶点处，这是最理想不过的了，过F点作BC的平行线恰能实现这个目标．　　解过F到FG∥CB，交AB于G，则∠C=∠AFG(同位角相等)，∠2=∠BFG(内错角相等)．　　因为AE∥BD，所以∠1=∠BFA(内错角相等)，　　所以∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG

8、=∠1-∠2=3∠2-∠2=2∠2=50°．　　说明(1)运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线(平行线)的常用技巧．　　(2)在学过“三角形内角和”知识后，可有以下较为简便的解法：∠1=∠DFC=∠C+∠2，即∠C=∠1-∠2=2∠2=50°．　　例4求证：三角形内角之和等于180°．