浙大远程工程数学离线作业答案2015年春(word版)

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1、浙江大学远程教育学院《工程数学》课程作业姓名：学号：年级：学习中心：—————————————————————————————《复变函数与积分变换》第一章1.1计算下列各式：（2）、（a-bi）3解（a-bi）3=a3-3a2bi+3a(bi)2-(bi)3=a3-3ab2+i(b3-3a2b)；（3）、；解====1.2、证明下列关于共轭复数的运算性质：（1）；证()-i()==（2）证===--==()()=--即左边=右边，得证。（3）=(Z2≠0)证==（）====1.4、将直线方程ax+by+c=0(a2+b2≠0)写成复数形式［提示：记x+iy=z］z+

2、A+B=0，其中A=a+ib，B=2C(实数)。解由x=，y=代入直线方程，得()+()+c=0,az+-bi()+2c=0,(a-ib)z+(a+ib)+2c=0,故z+A+B=0，其中A=a+ib，B=2C1.5、将圆周方程a(x2+y2)+bx+cy+d=0(a≠0)写成复数形式（即用z与来表示，其中z=x+iy）解：x=，y=，x2+y2=z代入圆周方程，得az+()+()+d=0，2az+(b-ic)z+(b+ic)+2d=0故Az++B+C=0，其中A=2a，C=2d均为实数，B=b+ic。1.6求下列复数的模与辅角主值：（1）、=2，解arg()=ar

3、ctan=。1.8将下列各复数写成三角表示式：（2）、i；解=1,arg()=arctan()=-a故i=+i。1.10、解方程：Z3+1=0解方程Z3+1=0，即Z3=-1，它的解是z=，由开方公式计算得Z==+i，k=0,1,2即Z0==+i，Z1==1，Z2=+i=i。1.11指出下列不等式所确定的区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？（1）、2＜＜3；解圆环、有界、多连域。（3）、＜argz＜；解圆环的一部分、单连域、有界。（5）、Rez2＜1；解x2-y2＜1无界、单连域。（7）、＜；解从原点出发的两条半射线所成的区域、无界、单连域

4、；第二章2.2下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？（1）f(z)=z2；解f(z)=z2=·z·z=·z=(x2+y2)(x+iy)=x(x2+y2)+iy(x2+y2)，这里u(x,y)=x(x2+y2),v(x,y)=y(x2+y2)。ux=x2+y2+2x2，vy=x2+y2+2y2，uy=2xy，vx=2xy。要ux=vy，uy=-vx，当且仅当x=y=0，而ux,vy，uy,vx均连续，故f(z)=·z2仅在z=0可导；z≠0不可导；复平面上处处不解析；（2）、f(z)=x2+iy2；解这里u=x2,v=y2,ux=2x,uy=0,vx=

5、0,vy=2y，四个偏导数均连续，但ux=vy，uy=-vx仅在x=y处成立，故f(z)仅在x=y上可导，其余点均不可导，复平面上处处不解析；2.3确定下列函数的解析区域和奇点，并求出导数：（1）、；解f(z)=是有理函数，除去分母为0的点外处处解析，故全平面除去点z=1及z=-1的区域为f(z)的解析区域，奇点为z=±1，f(z)的导数为：f’(z)=)’=则可推出==0，即u=C(常数)。故f(z)必为D中常数。2.9由下列条件求解析函数f(z)=u+iv（1）、u=(x-y)(x2+4xy+y2)；解因==3+6xy-3，所有v=dy=+3x-+w（x），又=

6、6xy+3+w’（x）,而=3-3，所以w’（x）=-3，则w（x）=-+C。故f(z)=u+iv=(x-y)(+4xy+)+i(-+C)=(1-i)(x+iy)-(1-i)(x+iy)-2(1+i)-2x(1-i)+Ci=z(1-i)()-2xyi·iz(1-i)+Ci=(1-i)z(-2xyi)+Ci=（1-i）z3+Ci（3）、u=2(x-1)y，f(0)=-i；解因=2y，=2(x-1)，由f(z)的解析性，有==2(x-1)，v=dx=+（y），又==2y，而=’（y），所以’（y）=2y，（y）=+C，则v=++C，故f(z)=2y+i(++C)，由f(

7、2)=i得f(2)=i(1+C)=,推出C=0。即f(z)=2y+i()=i(+2z)=i(1z)2（4）、u=(x)，f(0)=0；解因=(x)+，=(-x)，由f(z)的解析性，有==，==(x)+。则v(x,y)=dx+dy+C=+dy+C=Xdy-dy+dy)+C=+C=x-+C，故f(z)=-i()+iC。由f(0)=0知C=0即f(z)=（x）+i()=zez。2.13试解方程：（1）、=1+i解=1+i=2（+i）=2=（4）、+=0解由题设知=-1,z=k-，k为整数。2.14求下列各式的值：（1）、解==；（3）、；===·=·=27(-i)。