3.2.1常见函数的导数.doc

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1、3.2.1常见函数的导数一、填空题1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是________．2．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为________．3．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，则α的值等于________．4．质点的运动方程是s＝t3(s的单位：m；t的单位：s)，则质点在t＝4时的瞬时速度为________．5．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于________．6．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，且f(x

2、)

3、相垂直？并说明理由．11．设直线l1与曲线y＝相切于点P，直线l2过点P且垂直于直线l1，若l2交x轴于点Q，又作PK垂直于x轴于点K，求KQ的长．12．经过定点(1,3)作直线l与抛物线y＝x2相交于A、B两点，求证：抛物线上A、B两点处的切线的交点M在一条定直线上．第3页共3页答案1解析：设切点为(x0，x)，则由于y′＝(x2)′＝2x，∴切线斜率为2x0.由2x0＝2，得x0＝1，∴切点为(1,1)，斜率为2.∴切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.答案：2x－y－1＝02解析：由题

4、意切线的斜率为y′

5、x＝1＝3×12＝3，∴切线方程为y－1＝3(x－1)，与x轴交点为(，0)．∴S＝

6、2－

7、×4＝.答案：3解析：f′(x)＝α·xα－1，所以f′(－1)＝α·(－1)α－1.当α＝4时，f′(－1)＝4×(－1)3＝－4.答案：－44解析：∵s＝t3.∴s′＝3t2，∴v＝s′

8、t＝4＝3×42＝48(m/s)．答案：48m/s5解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)，于是f′(1)＝2＋2f′(1)，则f′(1)＝－2，故得f′(x)＝2x－4，因此f′(0)＝－4.答案：－46解

9、析：f′(x).答案：x<0或x>7解析：因为y′＝(lnx)′＝，设切点为(x0，y0)，则切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y＝x＋lnx0－1.由lnx0－1＝0，得x0＝e.∴k＝.答案：8解析：f′(x)＝2x∈(0，)，g′(x)＝∈(1，＋∞)，∴f′(x)＜g′(x)．答案：f′(x)＜g′(x)9解析：∵f1(x)＝(cosx)′＝－sinx，f2(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f3(x)＝(－cosx)′＝sinx，f4(x)＝(si

10、nx)′＝cosx，…，由此可知fn(x)的值周期性重复出现，且周期为4，故f2010(x)＝f2(x)．答案：－cosx10解：由于y＝sinx，y＝cosx，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝y′

11、x＝x0＝cosx0，k2＝y′

12、x＝x0＝－sinx0.若使两条切线互相垂直，必须cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的．∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．11解：

13、如图所示，设P(x0，y0)，则kl1＝y′

14、x＝x0＝.第3页共3页∵直线l1与l2垂直，则kl2＝－2，∴直线l2的方程为y－y0＝－2(x－x0)．∵点P(x0，y0)在曲线y＝上，∴y0＝.在直线l2的方程中令y＝0，则－＝－2(x－x0)．解得x＝＋x0，即xQ＝＋x0.又xK＝x0，∴

15、KQ

16、＝xQ－xK＝＋x0－x0＝.12证明：显然，如果直线l的斜率不存在，则它与x轴垂直，这时它与抛物线只有一个交点，不合题意．故可设直线l的斜率为k，则其方程为y－3＝k(x－1)，它与抛物线的交点为A(x

17、1，y1)，B(x2，y2)，由，消去y得x2－kx＋k－3＝0，因此.又因为y′＝2x，所以抛物线在A、B两点处的切线的斜率分别为2x1,2x2，切线方程分别为y－x＝2x1(x－x1)和y－x＝2x2(x－x2)，联立解得两切线的交点M的坐标为(，x1x2)，即M(，k－3)，若令，消去k得y＝2x－3.故抛物线上A、B两点处的切线的交点M在定直线y＝2x－3上．第3页共3页