高考专题圆方程及其应用-精品之高中数学（理）黄金100题--- 精校解析Word版

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1、第70题圆方程及其应用I．题源探究·黄金母题【例1】求以点为圆心，并且与直线相切的圆的方程．【答案】【解析】由圆心到切线的距离等于半径得：所求的圆的方程为．【例2】求圆心在直线上，并且经过原点和点的圆的方程．【答案】【解析】设所求的圆的方程为．由已知，得解此方程组，得所求圆的方程为．【例3】已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上，求圆心为的圆的标准方程．【解析】因为，，所以线段的中点的坐标为，直线的斜率为，因此线段的垂直平分线的方程是精彩解读【试题来源】人教A版必修2P132A组T3．【母题评析】本题考查直线和圆的位置关系、圆的方程的求法，考查考生的分

2、析问题解决问题的能力．【思路方法】结合圆的切线的性质和圆的标准方程解题．【试题来源】人教A版必修2P144A组T2．【试题来源】人教版A版必修2P120例3．【母题评析】本题已知三个条件圆的标准方程，解答时根据利用直接法分别求出圆心的坐标与半径，具有较强的代表性，命题人常常以此为母题加以改造命制新的高考试题．【思路方法】，即，解方程组，得，即圆心坐标为，圆的半径，所以圆的标准方程为．本题解答主要是利用直接法求圆的方程，即根据利用两条直径所在的直线首先求出圆心坐标，利用圆心到圆上的已知点求出圆的半径，进而求得圆的标准方程．II．考场精彩·真题回放【例1】【

3、2017高考江苏13】在平面直角坐标系中，点在圆上，若，则点的横坐标的取值范围是▲．【答案】．【解析】设，则，把代入，得，点的横坐标的取值范围是．【例2】【2016高考天津卷】已知圆的圆心在轴的正半轴上，点在圆上，且圆心到直线的距离为，则圆的方程为___________．【答案】【解析】设圆心为，则由题意，得，解得，所以圆的半径为，故圆【命题意图】这类题主要考查圆的方程的求法、圆的方程的应用，以及逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想的应用、分类讨论思想的应用．【考试方向】这类试题在考查题型上，既可以单独命题在选择题与填空题中考查，也可以出现在解答题一个小

4、题中，涉及到知识难度中等．【难点中心】求圆的标准方程主要有两种方法：（1）直接法，该法的难度是如何确定圆心与半径；（2）待定系数法，此法的难度是如何建立关于参数或的方程．有时面临两种方法都可以利用，此时的难点是选择何种方法较为简捷．的方程为．【例3】【2016浙江高考卷】已知，方程表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______．【答案】；5．【解析】由题意，得．当时方程为，即，圆心为，半径为5；当时方程为，不表示圆．【例4】【2016高考陕西卷】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______．【答案】【解析】因为圆心与点关于直

5、线对称，所以圆心坐标为，所以圆的标准方程为：．【例5】【2015高考北京卷】圆心为且过原点的圆的方程是（　）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为，则圆的标准方程为，故选D．【例6】【2015高考江苏卷】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为___________．【答案】【解析】由题意得：圆的半径，当且仅当时取等号，所以半径最大为，故所求的圆的方程为．III．理论基础·解题原理考点一　圆的标准方程1．标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是．特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：．2．点与

6、圆的位置关系：（1）设点到圆心的距离为，圆半径为：①点在圆内；②点在圆上；③．点在圆外；（2）点与圆的位置关系：①当，点在圆外；②当=，点在圆上；③当，点在圆内．考点二　圆的一般方程一般方程．①当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为；②当时，表示一个点；③当时，方程不表示任何图形．注：方程表示圆的充要条件是：且且．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题可单独命题在选择题与填空题中出现，也可以出现在解答题的第（1）题中．主要题型：（1）根据条件求圆的方程，难度中等；（2）根据圆的方程确定圆心与半径，难度较易．【技能方法】（1）直接法：就是根据条件直接分

7、别求出圆心和半径；（2）待定系数法：就是根据所给条件设出圆的标准式方程或一般式方程，然后根据条件通过建立方程组求得或．（3）利用待定系数法时，要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般式．【易错指导】（1）若圆的方程确定圆心时，易错误确定圆心为；（2）忽视二元二次方程表示圆的条件为，使问题的解决建立在纸上谈兵上；（3）忽视圆方程中两个变量范围，往往会使问题造成多解．V．举一反三·触类旁通考向1　构成圆的方程的条件【例1】【2018湖北省黄冈中学高三上第一次周

8、测】点在圆上，则的值为　（　　）A．1　　　　B．　　　　C．1或　　　　D．2