齐次线性方程组论文：一类常系数非齐次线性微分方程组的几种解法

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1、齐次线性方程组论文：一类常系数非齐次线性微分方程组的几种解法［摘要］微分方程的解法是学习微分方程最基本的问题，但是它的解法种类繁多，求解过程复杂，一般教材只是介绍常数变易法和可积组合法。本文归纳了解非齐次线性微分方程组的各种方法，从介绍常系数齐次线性方程组的解法入手，进而讨论、研究、比较求解常系数非齐次线性方程组的特解的几种方法的异同。［关键词］齐次线性方程组非齐次线性方程组通解特解微分方程的解法是学习微分方程最基本的问题，但是它的解法种类繁多，求解过程复杂，一般教材只是介绍常数变易法和可积组合法。本文归纳了解非齐次线性微分方程组的各种方法，从介绍常系数齐次线性方程组的解法入手，进而讨论、

2、研究、比较求解常系数非齐次线性方程组的特解的几种方法的异同。下面，我们首先研究常系数齐次线性微分方程组的解法。对于常系数非齐次线性方程组(1)的求解问题，可以先求出它对应的齐次方程组(2)的通解，再求出它本身的任何一个特解，叠加起来就是它的通解。我们记得阶线性非齐次微分方程组为（1）它所对应的齐次方程组为（2）其中是维向量，a是矩阵，在某个区间上连续.当a是常矩阵时，称为常系数线性微分方程组。1.常系数齐次线性方程组我们通常采用以下三种方法来解答常系数齐次线性微分方程组：待定系数法、消元法和拉氏变换法。1.1待定系数法待定系数法又称欧拉法，是解常系数齐次线性微分方程组的常用方法•其具体步骤

3、是：（1）写出特征方程，算出特征根及重数，是互不相同的特征根，重数分别为；（2）对每一特征根作形式解代入方程组（2）,比较t的同次需的系数，得的代数方程组，解之可（比例地）确定它们，从而得到个线性无关解,若a是实数矩阵，是虚根时，所得的解要转换为实解；（3）对一切，我们共得个线性无关解，它们构成（2）的基本解组，线性组合之，即得（2）的通解。1.2消元法消元法的基本思想是先设法消去方程组中的某些变元，得到只含一个变元的一个方程(在这里是一个高阶常系数齐次线性微分方程)，求出这个方程的解，再回原方程组，求出变元的解。以二阶组为例，说明具体步骤.设方程组为引进算子记号，则方程组可写为且记，则显

4、然满足高阶常系数线性方程解出第一个高阶方程得，代入原方程组中第一个方程求得；或解出第二个高阶方程得，代入原方程组中第二个方程求得；或同时从两个高阶方程解出•代入原方程组决定任意常数间关系，均可得到原方程组的通解。1.3拉氏变换法拉氏变换法对解常系数线性系统的初值问题特别有效，它不必经过通解，而直接求得满足初始条件的特解。求解思路是：同样，以二阶组为例，说明具体步骤，设方程组为，满足初始条件则对方程取拉氏变换，得：(3)故（3）为象原函数满足的代数方程组，再由（3）,代入初值可解出象函数，并对进行有理分式分解•最后，反查拉氏表，得初值问题解。以上是本文的常系数齐次线性方程组的介绍，接下来,我

5、们将进入对常系数非齐次线性方程组的研究，考察求常系数非齐次线性方程的特解的方法。2、常系数非齐次线性方程组求常系数非齐次线性方程组的特解，一般有五种方法，它们分别是：待定系数法、算子法、拉氏变换法、常数变易法和可积组合法。2.1待定系数法用待定系数法解常系数非齐次线性方程组时，右端函数必须具有特定形状，即必须是多项式、指数函数、三角函数,这几类函数的乘积以及它们的系数线性组合，当方程组（1）的右端函数具形式：其中是实常数，分别是次多项式，且个这种形式函数（每个函数的可以不同）的和时，可按下表立即写出它的特解的待定形式，用以代入方程组（1）得系数方程组，解之就能确定它。（如表1所示）例1:用

6、待定系数法求方程组的特解解：特征方程为有特征根，它们分别对应特征向量•故得齐次线性方程组的基本解矩阵为再求一个非齐的特解，因是单重特征根，故令特解形式为代入原方程组，约去公因子，得到比较t的同次幕系数，得取，贝U•由此得特解故原方程组的通解为2.2算子法算子法与1.2的消元法有点类似.下面我们也以二阶组为例，说明算子法的具体步骤，设方程组为(5)用算子法来求(5)的一个特解，可先将方程组写成形然后把算子多项式看成系数，用克莱姆法则，可形式地解出，最后，进行算子的正运算与逆运算，即可求得特解。例2：用算子法求方程组的一个特解.解：方程组可写成形式由克莱姆法则，有再进行算子的正运算与逆运算，可

7、得即得特解：注：由于逆算子运算的不唯一性导致当右端函数具体形式，而又是特征方程的根时，单纯形式使用克莱姆法则不一定得到真正的解，所以，用这种解法解出结果后，需要代入方程验算,而经检验，可知例2中求得的特解的确是原方程的解。2.3拉氏变换法用拉氏变换法解常系数非齐次线性方程组的步骤与解常系数齐次线性方程组的步骤基本相同，稍有不同的地方，本文通过下面的例子指出。例3：用拉氏变换法求方程组，满足的解。解：取拉氏变换即有故得反查