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1、非线性数学期望在金融风险中应用摘要：本文以F-期望为例，分析F-期望在金融风险度量中的应用，根据金融风险度量的性质，运用数学期望分析保险中风险度量。关键词：非线性数学F-期望金融风险度量保险2008年，金融危机席卷全球，许多世界著名的投行纷纷倒闭。全球金融危机使人们对加强风险管理的重要性有了前所未有的认识。怎样度量市场中的风险成为学术界和金融领域关注的热点。本文构造了一种相容非线性期望——F-期望，这种期望是通过具有无穷小生成元的全非线性抛物型偏微分方程生成的马尔科夫过程引入的。我们通过F-期望定义某空间X上的金融头寸X的
2、风险度量。一、F-期望的性质(一)F-期望的单调性和平移不变性定理1.1假设■对F成立，那么F-期望对任意■满足：(1)单调性：如果■,那么，■;(2)保常数性：对任意常数C,那么，■；(3)平移不变性：因此，不等式■成立对函数■,验证■对所有的■和■满足■由■最大值原理得到：■,因此，■成立。(二)F-期望的次可加和正齐次性定理1.2(F-期望的次可加)：假设■对F成立，那么，下面两个条件等价：(1)■是次可加的；(2)F是次可加的，■对任意■和■■由条件(1)可知，对两个函数■和■,■因此，对・令t趋于0,■由■的定义
3、，对任意■令■可得，■(2)■(1)：证明(i),只需证明对任意■和■■记・因此，■是■带有初值条件■的黏性解由・其中，■因为F是次可加的，■,故■是■的上解，可得■记・，因此，■是■带有初值条件■的黏性解，由・■其中，■因为F是次可加的，■•因此，■是■的上解，由比较定理可得：■二、静态风险度量与F-期望我们假设■已经定义空间■其中，代表函数©的线性空间，4）满足■■其中，■且■依赖于4）。本节主要是分析F-期望引导出的风险度量和生成元素F的关系。定理2.1假设F满足■,如下定义・那么■被称为F-期望引导出的静态风险度量
4、。定理2.2假设F满足■,风险资产空间为・若■为■中定义的F-期望引导出的静态风险度量。那么下面三个条件等价：(1)■是一致性风险度量(2)F-期望■满足次可加性和正齐次性(3)F满足次可加性和正齐次性证明：当F满足■,由F期望的单调性和平移不变性，由一致性风险度量的基本要素，知(1)■(2)成立。定理2.3假设F满足■,风险资产空间为・若■中定义的F-期望引导出的静态风险度量。那么下面三个条件等价：(1)■是凸风险度量；(2)■是凸的；(3)F是凸函数。三、动态风险度量条件F-期望的性质与F-期望的性质相似，所以静态情形
5、下风险度量的结论可以自然的扩展到动态情形。根据风险度量的定义，我们研究金融寸头x在初始时间0和终端时间T之间的任一时刻t的风险定义3.1我们称■为动态风险度量，它满足(1)■(2)■是静态风险度量；(3)■定义3.2动态风险度量■称作动态一致性风险度量，如果对所有■和■满足：(1)动态单调性■(2)动态次可加性■(3)动态正齐次性■(4)动态平移不变性■其中B是x中■可测随机变量。定义3.3动态风险度量■称作动态凸风险度量，如果对所有■和■满足：动态单调性：■动态凸性：■动态平移不变性：■其中，B是x中■可测随机变量定理3
6、.4假设F满足■,风险资产空间为■若■为式中定义的F-期望引导出的，那么下面三个条件等价：(1)■是动态凸风险度量(2)■是凸的；(3)F是凸函数连续时间递归性的金融意义是为了量化X时刻在s的风险。下面两种计算金融风险的途径是等价的。(A)直接计算・(B)分两步计算■,首先计算X在时刻t的风险■,然后计算在■时刻s的风险■四、实证分析通过上文分析及相关理论可知，风险度量指标满足随机占优单调性、次可加性、正齐次性、连续性等原则。保单持有人通过合理的投保方式，有效地降低风险。投保后，自己的大部分风险转嫁给保险公司。对保险公司和
7、投保人来说，怎样的保费额度是合理的？保险公司保证稳健发展所需收取的保费的最低额度是多少？投保人愿意为转嫁风险而支付的最大成本是多少？对投保人来说，他可能损失5000的概率是0.Olo他选择购买一份保费为100的保险。如果风险发生，那么保险公司会足额的赔偿投保人所承受的损失。即如果损失的情况发生了，投保人会获得保险公司5000元的赔偿。那么，投保人在投保后和投保前是不同的：状况1：损失保费额100的概率是1；状况2：以0.01的概率损失5000,以0.99的概率获得;对于保险公司来说，接受了投保人的保险后是：状况3：损失49
8、00的概率是0.01,获得100的概率是0.99；通过计算，F(gl)二970.4,F(g2)=100,F(g3)==941.7通过计算可知，投保人在保险前后所面临的风险得到了显著的控制。通过F(gl)可知，虽然投保人面临的可能损失高达5000,但是他所面临的风险的不足最高损失的1/5。如果我们预期gl
