2015年全国高中数学联合竞赛试卷及答案（四川初赛）.doc

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1、2015年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）（5月17日下午14：30——16：30）题目一二三总成绩13141516得分评卷人复核人考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分140分.2、用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答.3、计算器、通讯工具不准带入考场.4、解题书写不要超过密封线.得分评卷人一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、已知n为正整数，二项式的展开式中含有项，则n的最小值为【】A、4B、5C、6D、72、在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若，则的大小为【】A、B、C、D、3、已知二面角的大小为30，则由平

2、面上的圆在平面上的正射影得到的椭圆的离心率为【】A、B、C、D、4、记函数的最大值为M，最小值为m，则的值为【】A、B、C、D、25、已知正三棱锥P-ABC的底面ABC是正三角形，该三棱锥的外接球的球心O满足，则二面角的余弦值为【】A、B、C、D、6、设质数p，满足存在正整数x，y使得，则符合条件的质数p2015年全国高中数学联赛（四川初赛）第8页（共8页）的个数为【】A、1B、2C、3D、4得分评卷人二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、为虚数单位，复数，则=.8、若，则.9、已知点P满足，则到x轴的距离的点P的概率是.10、设，则的值是.1

3、1、在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P为矩形ABCD所在平面上一点，满足PA=2，PC=，则.12、对任意正整数n，定义函数如下：，且当时，，其中是不同的质数.若记为12的全部不同正因数的集合，则.得分评卷人三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、已知数列满足：成等差数列，且对任意的正整数n，均有成立，其中是数列的前n项和.（1）求；（2）求数列的通项公式.2015年全国高中数学联赛（四川初赛）第8页（共8页）14、已知.（1）记，求在上的最大值和最小值；（2）求的值.15、过双曲线的右支上任意一点作一直线与两条渐近线交于A、B，若P是

4、AB的中点.（1）求证：直线与双曲线只有一个交点；（2）求证：△OAB的面积为定值.2015年全国高中数学联赛（四川初赛）第8页（共8页）16、已知a为实常数，函数.（1）记的导函数为，求在上的单调区间；（2）若在的极大值和极小值恰好各有一个，求实数a的取值范围.2015年全国高中数学联赛（四川初赛）第8页（共8页）2015年全国高中数学联赛（四川初赛）第8页（共8页）2015年全国高中数学联赛（四川初赛）第8页（共8页）2015年全国高中数学联赛（四川初赛）第8页（共8页）2015年全国高中数学联赛（四川初赛）第8页（共8页）