2013年北师大必修1示范教案3.3.3指数函数的图像和性质(1).doc

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1、3．3　指数函数的图像和性质(1)导入新课　　　　　思路1.复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和y＝2x与y＝x的性质，下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图像和性质．如何利用指数函数的图像和性质来解决一些问题，这就是本堂课要讲的主要内容．教师板书课题．思路2.我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图像的特点，并且是用类比和归纳的方法得出．在理论上，我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性，以便于我们在解题时应用这些性质，本堂课我们要解决这个问题．教师板书课题．思路1例1(1)求使不等式4x＞32成立的x的集合；(2)已知＞a，求实数a的取值范围．活动：学生

2、先思考，再讨论，然后回答．(1)由于x在指数位置上，因此，要利用指数函数的性质进行转化，特别是指数函数的单调性，(2)也是利用指数函数的性质判断底数的范围．解：(1)4x＞32，即22x＞25.因为y＝2x是R上的增函数，所以2x＞5，即x＞.满足4x＞32的x的集合是.(2)由于＜，则y＝ax是减函数，所以0＜a＜1.点评：正确理解和运用指数函数的性质是解题的关键．例2用函数单调性的定义证明指数函数的单调性．活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤，单调性的定义证明函数的单调性，要按规定的格式书写．证法一：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则y2－y1＝ax2－ax1

3、＝ax1(ax2－x1－1)．因为a＞1，x2－x1＞0，所以ax2－x1＞1，即ax2－x1－1＞0.又因为ax1＞0，所以y2－y1＞0，即y1＜y2.所以当a＞1时，y＝ax，x∈R是增函数．同理可证，当0＜a＜1时，y＝ax是减函数．证法二：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则y2与y1都大于0，则＝＝ax2－x1.因为a＞1，x2－x1＞0，所以ax2－x1＞1，即＞1，y1＜y2.所以当a＞1时，y＝ax，x∈R是增函数．同理可证，当0＜a＜1时，y＝ax是减函数．变式训练若指数函数y＝(2a－1)x是减函数，则a的范围是多少？答案：＜a＜1.例3截止到1999

4、年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？(精确到亿)活动：师生共同讨论，将实际问题转化为数学表达式，建立目标函数，常采用特殊到一般的方式，教师引导学生注意题目中自变量的取值范围，可以先考虑一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底　人口约为13亿；经过1年　人口约为13(1＋1%)亿；经过2年　人口约为13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2亿；经过3年　人口约为13(1＋1%)2(1＋1%)＝13(1＋1%)3亿；经过x年　人口约为13(1＋1%)x亿；经过20年　人口约为13(

5、1＋1%)20亿．解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，则y＝13(1＋1%)x，当x＝20时，y＝13(1＋1%)20≈16(亿)．答：经过20年后，我国人口数最多为16亿．点评：类似此题，设原值为N，平均增长率为p，则对于经过时间x年后总量y＝N(1＋p)x，像y＝N(1＋p)x等形如y＝kax(k∈R，a＞0且a≠1)的函数称为指数型函数．思路2例1求下列函数的定义域、值域：(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝2x＋1；(4)y＝.解：(1)由x－1≠0得x≠1，所以所求函数定义域为{x

6、x≠1}．由x≠1得y≠1，即函数值域为{y

7、y＞0且

8、y≠1}．(2)由5x－1≥0得x≥，所以所求函数定义域为.由≥0得y≥1，所以函数值域为{y

9、y≥1}．(3)所求函数定义域为R，由2x＞0可得2x＋1＞1.所以函数值域为{y

10、y＞1}．(4)由已知，得函数的定义域是R，且(2x＋1)y＝2x－2，即(y－1)2x＝－y－2.因为y≠1，所以2x＝.又x∈R，所以2x＞0，＞0.解之，得－2＜y＜1.因此函数的值域为{y

11、－2＜y＜1}．点评：通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性．变式训练求函数y＝的定义域和值域．解：要使函数有意义，必须

12、x＋3≠0，即x≠－3，即函数的定义域是{x

13、x≠－3}．因为≠0，所以y＝≠0＝1.又因为y＞0，所以值域为(0,1)∪(1，＋∞).例2(1)求函数y＝的单调区间，并证明．(2)设a是实数，f(x)＝a－(x∈R)，试证明对于任意a，f(x)为增函数．活动：(1)这个函数的单调区间由两个函数决定，是指数函数y＝x与y＝x2－2x的复合函数，(2)函数单调性的定义证明函数的单调性，要按规定的格式书写．(1)解法一：设x1＜x2，则＝＝＝，因为x1＜x2，所以x2－x1＞0.当x1，x2∈(－∞，1]时，x1＋x2－2＜0，这