函数概念教学的几点思考田洪涛

《函数概念教学的几点思考田洪涛》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

函数概念教学的几点思考田洪涛河南淅川二高FH洪涛1要把握函数的实质17世纪初期，笛卡尔在引入变量概念之后，就有了函数的思想，把函数一词用作数学术语的是莱布尼兹，欧拉在1734年首次用f(x)作为函数符号。关于函数概念有“变量说”、“对应说”、“集合说”等。变量说的定义是：设X、y是两个变量，如果当变量x在实数的某一范围内变化时，变量y按一定规律随x的变化而变化。我们称x为自变量，变量y叫变量x的函数，记作y=f(x)0初中教材中的定义为：如果在某个变化过程中有两个变量x、y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫函数的定义域，和x的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域。它的优点是自然、形像和直观、通俗地描述了变化，它致命的弊端就是对函数的实质一一对应缺少充分地刻画,以致不能明确函数是x、y双方变化的总体，却把y定义成x的函数，这与函数是反映变量间的关系相悖，究竞函数是指f,还是f(x),还是尸f(x)?使学生不易区别三者的关系。迪里赫莱(P.G.Dirichlet)注意到了“对应关系”，于1837年提出:对于在某一区间上的每一确定的x值，y都有一个或多个确定的值与之对应，那么y叫x的一个函数。19世纪70年代集合论问世后，明确把集合到集合的单值对应称为映射，并把「'一切非空集合到数集的映射称为函数”，函数是映射概念的推广。对应说的优点有：①它抓住了函数的实质一一对应，是一种对应法则。②它以集合为基础，更具普遍性。③它将抽像的知识以模型并赋予生活化，比如:某班每一位同学与身高(实数)的对应；某班同学在某次测试的成绩的对应；全校学牛与某天早上吃的馒头数的对应等都是函数。函数由定义域、值域、对应法则共同刻划，它们相互独立，缺一不可。这样很明确的指出了函数的实质。对于集合说是考虑到集合是数学中一个最原始的概念，而函数的定义里的 “对应”却是一个外加的形式，，似乎不是集合语言，1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)采用了纯集合论形式的定义：如果集合fC{(x,y)|x∈A,y∈B}且满足条件，对于每一个x∈A,若(x,yl)∈f,(x,y2)∈f,则yl=y2,这吋就称集合f为A到B的一个函数。这里f为直积A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}的一个特殊子集，而序偶(x,y)又是用集合定义的：(x,y)={{x},{x,y}}•定义过于形式化，它舍弃了函数关系生动的直观，既看不出对应法则的形式，更没有解析式，不但不易为中学生理解，而II在推导中也不便使用，如此完全化的数学语言只能在计算机中应用。2加强数形结合数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽像概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。在7—12年级所研究的函数主要是幕函数、指数函数、对数函数和三角函数，对每一类函数都是利用其图像来研究其性质的,作图在教学中显得无比重要。我认为这一部分的教学要做到学生心中有形，函数图像就相当于佛教教徒心中各种各样的佛像，只要心中有形，函数性质就比较直观，处理问题吋就会得心应手。函数观念和数形结合在数列及平面几何中也有广泛的应用。如函数y=log0.5|x2-x-12|单调区间，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|,t=0吋，x=3或x=4,知t函数的图像是变形后的抛物线，其对称轴为x二?与x轴的交点是x=-3或x=4并开口向上，其x∈(-3,4)的部分由x轴下方翻转到x轴上方,再考虑对数函数性质即可。又如：判定方程3x2+6x=1x的实数根的个数，该方程实根个数就是两个函数y=3x2+6x与y=l/x图像的交点个数，作出图像交点个数便一目了然。3将映射概念下放就前面三种函数概念而言，能提示函数实质的只有“对应说”，如果在初中阶段把“变量说”的定义替换成“对应说”的定义，可有以下优点：⑴体现数学知识的系统性，也显示出时代信息，为学生今后的学习作准备。⑵凸显数学内容的生活化和现实性，函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。⑶变抽像内容形 像化，替换后学生会感到函数概念不再那么抽像难懂，好像伸手会触摸到一样，身边到处都有函数。学生就会感到函数不再那么可怕，它无非是一种映射。只需将集合论的初步知识下放一些即可，学生完全能够接受，因为从小学第一学段就已接触到集合的表示方法，第二学段已接触到集合的运算，没有必要作过多担心。以前有人提出将概率知识下放的观点，当吋不也有人得出反对意见吗?可现在不也下放到了小学吗？如果能下放到初中，就使得知识体系更完备，衔接更自然，学生易于接受，学生就不会提出“到底什么是函数？”这样的问题。4区分函数与方程尽管函数和方程都是反映量与量之间的关系，可函数反映的是变量和变量之间的关系，强调的是一个变量随另一个变量的变化情况,从函数的角度来看，考虑的是x和y在各自取值范围内，彼此间怎样相互变化。而方程反映的是未知量和已知量之间的关系，等式F(x,y)二0是一个方程，只有在一定条件下才能确定为一个函数，从方程的角度来看，考虑的是x和y选取哪些数值吋才能使等式成立，另一方面，如果变量x和y的函数关系可以用解析式y二f(x)表示，那就得到一个方程y-f(x)=O,它们是可以互相转化的，有I］寸用方程知识去研究函数，也常用函数知识去研究方程。