2009届高考数学复习数列综合测试

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1、2009届高考数学复习数列综合测试1．已知等差数列满足：公差(n=1,2,3,…)①求通项公式；②求证:+++…+.解:∴②∵∴+++…+2．等比数列中，首项＞1，公比＞0，且，，．(Ⅰ)求；(Ⅱ)若，求取最大值的值．解：（Ⅰ）（Ⅱ）从而取最大值时，n=8或93.已知函数在(－1,1)上有意义,＝－1,且对任意的,∈(－1,1),都有.(1)判断的奇偶性；　(2)对数列,(),求；(3)求证:.解:(1)令,则,从而,又令,∈(－1,1),则.　即,故为奇函数.　(2)∵.　　∴是以－1为首项，以2为公比的等比数列，故=．　（3）　　4．函数的最小值为且数列的前项和为．（Ⅰ）求数列的通项公式；

2、（Ⅱ）若数列是等差数列，且，求非零常数；（Ⅲ）若，求数列的最大项．解：（Ⅰ）由，，由题意知：的两根，（Ⅱ），为等差数列，，，经检验时，是等差数列，（Ⅲ）5.已知双曲线的一个焦点为,且,一条渐近线方程为,其中是以4为首项的正数数列.（I）求数列的通项公式;（II）求证:不等式对一切自然数N*）恒成立.解：（I）双曲线方程即为,所以.又由渐近线方程得,于是.∴数列是首项为4,公比为2的等比数列,从而,∴（n≥2）.又,也符合上式,所以（n∈N*）.（II）令,则,∴,∴.即不等式对一切自然数N*）恒成立.6．已知曲线上有一点列，点在x轴上的射影是，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设四边形的面积

3、是，求证：解：（1）由得∵，∴，故是公比为2的等比数列∴.…………………………………………………………5分（2）∵，∴,而，…………………8分∴四边形的面积为：∴,故.……………………………………………12分7．已知数列的前项和为，又有数列满足关系，对，有，(1)求证：是等比数列，并写出它的通项公式；(2)是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。解：（1）由，又，数列为等比数列，且（2）依题意，存在，使得数列为等比数列。8．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，设求数列的前项和.解：（1）由题意知;当n=1时

4、，当两式相减得（）整理得：（）∴数列{an}是为首项，2为公比的等比数列.……………………………………（5分）（2）①②①－②得9．已知数列满足。（1）求的通项；（2）设，求的前项和。解：（1），，∴∴当时，，又n=1时2a1=41-1得a1=3/2,∴（2）故是以为首项，为公比的等比数列，∴10．已知数列{}的前项和为，满足关系式(1)当为何值时，数列{}是等比数列；(2)在(1)的条件下，设数列{}的公比为，作数列{}使＝1，＝(…)，求；(3)在(2)条件下，如果对一切∈N＋，不等式＋＜恒成立，求实数的取值范围．10．解:(1)(2＋t)Sn＋1－tSn＝2t＋4　　　　①n≥2时，(2

5、＋t)Sn－tSn－1＝2t＋4　　　②两式相减：(2＋t)(Sn＋1－Sn)－t(Sn－Sn－1)＝0，(2＋t)an＋1－tan＝0，＝．即n≥2时，为常数．当n＝1时，(2＋t)S2－tS1＝2t＋4，(2＋t)(a2＋a1)－ta1＝2t＋4，解得a2＝．要使{an}是等比数列，必须＝．∴＝，解得a1＝2．(2)由(1)得，f(t)＝，因此有bn＝，即＝＋1，整理得＋1＝2(＋1)．则数列{＋1}是首项为＋1＝2，公比为2的等比数列，＋1＝2·2n－1＝2n，bn＝．(3)把bn＝，bn＋1＝代入得：＋＜，即c＞＋，要使原不等式恒成立，c必须比上式右边的最大值大．∴＋＝＋＝＋＋，单调

6、递减．∴＋的值随n的增大而减小，则当n＝1时，＋取得最大值4，因此，实数c的取值范围是c＞4．11.已知函数满足且有唯一解。（1）求的表达式；（2）记，且＝，求数列的通项公式。（３）记，数列｛｝的前ｎ项和为，求证解：(1)由即有唯一解又(2)由又数列是以首项为，公差为的等差数列(3)由=12.设数列的前项和为，，且对任意正整数,点在直线上.(Ⅰ)求数列的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由.（Ⅲ）求证：.解：(Ⅰ)由题意可得：①时,②……………………1分①─②得，是首项为，公比为的等比数列，………………4分（Ⅱ）解法一:若为等差数列，则成等差

7、数列,………………6分得又时，，显然成等差数列，故存在实数，使得数列成等差数列.………………9分解法二:欲使成等差数列,只须即便可.故存在实数，使得数列成等差数列.………………9分（Ⅲ）又函数在上为增函数，，13.已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为数列{}的前n项和为，点均在函数的图像上.（I）求数列{}的通项公式；（II）设，的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m.解：（I）设这二