高中数学 1.6 三角函数模型的简单应用素材2 新人教A版必修4.doc

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1、1.6三角函数模型的简单应用重点：用三角函数模型来刻画具有周期变化规律的实际问题．难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型．一、三角函数在物理等其它学科中的应用各学科的知识可以相互应用，如物理学中的振动、波的传播、电流、生物学中的某些生活规律等，都可以用三角函数来模拟．例1弹簧挂着的小球作上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置(就是静止时的位置)的距离h(cm)由下列函数关系决定：h＝3sin(2t＋)．(1)以t为横轴，h为纵轴，作出函数的图象(0≤t≤π)；(2)求小球开始振动的位置；(3)求小球第一次上升到最高点和下降到

2、最低点的位置；(4)经过多长时间，小球往返振动一次？(5)每秒钟内小球能往返振动多少次？【分析】　解答本题可先画出h＝3sin(2t＋)的图象，然后结合图象去分析，解决问题．【解】　(1)图象如图所示：(2)令t＝0，得h＝cm；(3)结合图象得最高点和最低点分别是(，3)，(，－3)；(4)周期T＝π≈3.14，即每经过约3.14s小球往返振动一次；(5)≈≈0.318，即每秒钟小球约往返振动0.318次．【点评】　此类题目属于正弦曲线在运动学中的应用，解答此类题目的关键在于利用已知条件作出函数图象，然后借助于数形结合的思想，结合必要的物理学知识加

3、以分析解决．二、三角函数在自然界中的应用自然界中许多现象如日月的变化、时间的变化、潮水的变化等，可以用三角函数模拟研究．例2下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表.(1)以日期在1年365天中的位置序号为横坐标，描出这些数据的散点图；(2)确定一个满足这些数据的形如y＝Acos(ωx＋φ)＋t的函数；(3)用(2)中的函数模型估计该地7月3日的白昼时间．【分析】　解答本题可先作出散点图，然后把y＝Acos(ωx＋φ)＋t结合图象求出A、ω，最后利用函数模型求7月3日的白昼时间．【解】　(1)(2)由散点图知白昼时间与日期序号之间的关系近似为y＝A

4、cos(ωx＋φ)＋t，由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，即ymax＝19.4，ymin＝5.4.由19.4－5.4＝14，∴A＝7.由19.4＋5.4＝24.8，得t＝12.4.∵T＝365，∴ω＝.∴y＝7cos(x＋φ)＋12.4.当x＝172时，cos(x＋φ)＝1，ymax＝19.4.得一个φ值为－，∴y＝7cos[]＋12.4.(3)7月3日即x＝184，y＝19.4，约为19.4小时．【点评】　本题是根据条件建立拟合函数，要根据散点图猜测可能用到的函数形式．三、三角函数在日常生活中的应用在现实生活中，有很多常见的现象具有三

5、角函数性质的规律．例3如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮作匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的P点的起始位置在最低点处．(1)试确定在时刻tmin时P点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P点距离地面不低于70m?【分析】　描述实际运动问题，首先要建系，用解析法探究问题．【解】　以中心O与最低点P的连线的延长线与地面的交点为坐标原点建立坐标系(图略)，设tmin时P距地面高度为y，则依题意得y＝40sin＋50.(2)令40sin＋50≥70，∴sin≥，∴2kπ＋≤t－≤2kπ＋，k∈Z，∴2kπ＋

6、≤t≤2kπ＋，k∈Z，∴3k＋1≤t≤3k＋2，k∈Z.令k＝0，得1≤t≤2.因此，共有1min距地面不低于70m.【点评】　利用坐标解析法处理问题是一种重要方法，如三角函数的定义的推导、三角公式的推导等，并且在生产和科技领域中，也有许多研究变化范围的问题，常常是先建模，后建立不等式，再求解问题．