数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义(完整版)

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1、高中平面几何叶中豪学习要点几何问题的转化圆幂与根轴P’tolemy定理及应用几何变换及相似理论位似及其应用完全四边形与Miquel点垂足三角形与等角共轭反演与配极，调和四边形射影几何复数法及重心坐标方法例题和习题1．四边形ABCD中，AB=BC，DE⊥AB，CD⊥BC，EF⊥BC，且。求证：2EF=DE+DC。（10081902.gsp）2．已知相交两圆O和O'交于A、B两点，且O'恰在圆O上，P为圆O的AO'B弧段上任意一点。∠APB的平分线交圆O'于Q点。求证：PQ2=PA×PB。（10092401-1.g

2、sp）3．设三角形ABC的Fermat点为R，连结AR，BR，CR，三角形ABR，BCR，ACR的九点圆心分别为D，E，F，则三角形DEF为正三角形。（10082602.gsp）4．在△ABC中，已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D、E，点A关于D、E的对称点分别为F、G，△ADG和△AEF的外接圆交于A和另一点P。求证：AP//BC。（10092102.gsp）5．圆O1和圆O2相交于A、B两点，P是直线AB上一点，过P作两圆作切线，分别切圆O1和圆O2于点C、D，又两圆的一条外公切线分别切圆O1

3、和圆O2于点E，F。求证：AB、CE、DF共点。（10092201.gsp）6．四边形ABCD中，M是AB边中点，且MC=MD，过C、D分别作BC、AD的垂线，两条垂线交于P点，再作PQ⊥AB于Q。求证：∠PQC=∠PQD。（10081601-26.gsp）7．已知RT△ABD∽RT△ADC，M是BC中点，AD与BC交于E，自C作AM垂线交AD于F。求证：DE=EF。（10083001.gsp）8．在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，E是△ABC外一点，满足CE⊥AB，BE=BD。过线段BE的中点M作直

4、线MF⊥BE，交△ABD的外接圆的劣弧AD于点F。求证：ED⊥DF。（2010年女子竞赛）（10081601-4.gsp）9．设圆I1是△ABC的BC边外的旁切圆，D、E、F分别是切点，若I1D与EF交于P点。求证：AP平分底边BC。（10082001-8.gsp）10．如图，⊙O切△ABC的边AB于点D，切边AC于点C，M是边BC上一点，AM交CD于点N．求证：M是BC中点的充要条件是ON⊥BC。（09031302.gsp）11．已知：BC是圆上的定弦，而动点A在圆上运动，M是AC中点，作MP⊥AB于P。求P

5、点的轨迹。（10081601-4.gsp）12．△ABC外接圆为圆O，P为AB上一点，过P分别作OA、OB的垂线，与AC、BC交于S、T，与AB交于M、N。求证：PM=MS的充要条件是PN=NT。（10081601-3.gsp）13．在ΔABC中AC＞BC，F是AB的中点，过F作它的外接圆直径DE，使得C、E在AB同一侧，又过C做AB的平行线交DE于L。求证：(AC+BC)2＝4DL×EF。（09011003.gsp）14．已知：P是垂直ABC外接圆BC弧上任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥CA于E，PF⊥AB于

6、F。求证：(BC/PD)＝(AC/PE)+(AB/PF)。（09012201-7.1.gsp）15．已知O是△ABC的外心，M是BC边中点，D是OM延长线上一点，满足DO=DB，E、F分别是AB、AC边上的点，满足∠MEA=∠MFA=∠A。求证：AD⊥EF。（10080302.gsp）16．已知△ABC中，AB＝AC，线段AB上有一点D，线段AC延长线上有一点E，使得DE＝AB。线段DE与△ABC的外接圆交于点T，P是线段AT延长线上的一点。求证：点P满足PD＋PE＝AT的充要条件是P在△ADE的外接圆上。（2

7、000年国家集训队）（10082201-1.gsp）17．已知△ABC中，内心I关于BC边中点M的对称点为I'，S是BC弧（不含A点）中点，直线SI'交△ABC的外接圆于另一点P。求证：P点到△ABC较远的顶点距离等于到另两个顶点距离的和。（10082201-5.gsp）18．在△ABC外作△DBC∽△ECA∽△FAB，联结AD、BE、CF。求证：AF+FB+BD+DC+CE+EA≥AD+BE+CF。（10081601-2.gsp）19．过△ABC内一点O引三边AB、BC、CA的平行线与其它两边的交点分别为E、

8、F、G、H、I、K，过O作△ABC的外接圆的弦AL。求证：OE·OF＋OG·OH＋OI·OK＝OA·OL。（09042002.gsp）20．一小圆内切大圆于点N，BA、BC是大圆的两条弦，且分别切小圆于K、M，劣弧AB和劣弧BC的中点分别为Q、P，又设△BQK、△BPM外接圆的另一个交点为B1。求证：BPB1Q为平行四边形。（10082001-1.gsp）21．圆O与圆O1、圆O2同时