知识点1——向量组及其线性相关性

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1、知识点5向量组的最大无关组1向量组的最大无关组在前面讨论中，大家已经感到了向量组的线性相关性质是十分重要的，并且可以看到在一组向量中会有几个线性无关的向量是很重要的。本节就来讨论与此相关的一些问题。定义1设向量组是一组维向量，若该向量组中的个向量满足（1）是线性无关的（2）而该组向量中的任何个都线性相关则称向量组是原向量组的一个最大无关组。最大无关组包含向量的个数称为是向量组的秩，记作。规定只包含0向量的向量组的秩为0。注：一个向量组的最大无关组一般不是唯一的。当一个向量组的秩为r时,该向量组中中任意个线性无关的向量都是一个最大无关组

2、．例如,验证、是向量组，，的一个最大线性无关组。显然、线性无关，并且，所以、是向量组、、的一个最大线性无关组。当然、也是向量组、、的一个最大线性无关组。因而，一般地说，向量组的最大线性无关组不是唯一的，但它所含有向量的个数是唯一的，这个数就是向量组的秩。最大无关组的等价定义：是向量组中的一个子组，如果它满足（1）是线性无关的，（2）中的任何一个向量都能被它们线性表示则是向量组中的一个最大无关组。例1全体n维向量构成的向量组记作Rn，求Rn的一个最大无关组及Rn的秩．解：n维单位向量是Rn的一个最大无关组，其秩为n。2最大无关组的性质定

3、理1向量组与其任何一个极大无关组等价.推论向量组的任意两个极大无关组等价.注：线性无关向量组A的最大无关组即它自身，其秩等于向量组所含向量的个数.最大无关组的意义l用A0来代表A，掌握了最大无关组，就掌握了向量组的全体．l特别，当向量组A为无限向量组，就能用有限向量组来代表．l凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，立即可推广到无限向量组的情形中去．定理2矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。证明：（本定理要说明的是当矩阵的秩为时，它的列（行）向量组的秩也一定为，即：向量组中一定包含个线性无关的向量，但任何+1

4、个向量都是线性相关的）首先说明存在个线性无关的向量：设∴矩阵存在阶非零子式，不妨设为的前行和前列（否则可以经过行和列的对换使然）由前面结论可知这个子式的列向量组是线性无关的即线性无关，则向量组也线性无关。（解释若相关，则必能推出也相关）∴存在个线性无关的向量再来说明任何个向量都线性相关反证法：若在向量组中存在个线性无关的向量，不妨设为，由它们排列成的矩阵为，向量组线性无关的充分必要条件是，而的任何阶子式都是的阶子式，必定为0∴矛盾。同理可以证明：矩阵的秩也等于它的行向量组的秩。3最大无关组的求法：①对于秩为的矩阵来说，该矩阵的非0子式

5、所在的列（行）向量即为矩阵向量组的最大无关组。②矩阵的秩与其列（行）向量组的秩相同。③由于秩为的矩阵的阶非0子式不是唯一的，由上①有结论：向量组的最大无关组也不是唯一的。设有维向量组，归纳求向量组的秩和极大无关组的步骤如下：第1步，构造矩阵，通过行初等变换化矩阵为行阶梯形矩阵，则的非零行数；第2步，若，设在阶梯形矩阵中，非零首元所在的列的序号为，那么就是向量组的一个极大无关组．例：设矩阵，求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把其余的列向量用最大无关组线性表示．解：故R(A)=3．选取非零行首元所在的列对应的向量组为最大无关组．例设向

6、量组的秩为2，求a,b.解：，