向量组的线性相关性1

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1、第四章线性方程组的理论第三节向量组的线性相关性本节要点：掌握n维向量组的线性组合掌握向量组线性相关、线性无关的定义及判别定理一、向量组的线性组合（线性表示）P901、概念若称可由线性表示引例：对同维数向量定义:由同维数的向量所构成的集合称为向量组再如即称可由线性表示定义1对于给定的向量组P90若存在一组数，使得则称向量可由向量组线性表示。或向量是向量组的线性组合。【例1】零向量是任意向量组的线性组合因为：对任意向量组都有即取k1=k2=…=km=0,则有成立故零向量是任意向量组的线性组合P91【例2】证明任一个n维向量都可由n维向量组线性表示。要证：存在一组数k1,k2,

2、…,kn,使证明：所以，取k1=a1,k2=a2,…,kn=an,则有成立即向量可由向量组线性表示n维单位向量组P91【例3】线性方程组有解的充要条件是可由线性表示取则线性方程组（*）与向量方程是一一对应的对（*）分析：证明：存在一组数可由线性表示线性方程组有解使方程组成立成立即若该方程组有解，可得一个线性方程组。则可由向量组线性表示若该方程组无解，则不能由向量组线性表示若已知的分量，把分量代入2、已知分量的向量组的线性组合判别法：向量可由向量组线性表示向量方程有解定理1向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩．P91问能否由线性表示。【例5】设解：

3、设即由行变换…解得k1=1k2=1k3=-1即有所以能由线性表示问取何值时，(1)可由线性表示，且表达式唯一(2)可由线性表示，但表达式不唯一(3)不能由线性表示解：设【例5】设有三维向量P116:4即且（1）当且时，，方程组有唯一解即唯一存在一组数，使成立此时可由线性表示，且表达式唯一（2）当时，原方程组为：即存在无穷多组，使成立此时可由线性表示，但表达式不唯一原方程组有无穷多解。原方程组无解。（3）当时，原方程组为：且…行变换即不存在一组数，使成立此时不可由线性表示即仅当时，(1)式成立．将齐次线性方程组Am×nX=O写成向量形式二、线性相关、线性无关P92是系

4、数矩阵A的n个m维列向量．若方程组只有零解，若方程组有非零解，即存在一组不全为零的数使1、概念定义2对于向量组，若存在一组不全为零的数，使得（2）则称向量组线性相关。P92若（2）当且仅当时成立,则称向量组线性无关【例7】证明：n维单位向量组线性无关证明：设有一组数，使得成立因为仅有零解即方程要证：方程仅有零解即n维单位向量组线性无关P92【例8】证明：由一个向量构成的向量组线性相关的充要条件是证明：向量组线性相关存在一组不全为零的数k，即k≠0，使成立即成立故向量构成的向量组线性相关的充要条件是由此得：由一个向量构成的向量组线性无关的充要条件是P93【例9】证明：由两

5、个向量构成的向量组线性相关的充要条件是成比例。（即或）P93例：向量组线性相关向量组线性无关2、已知向量组的分量，判断的线性关系重要题型判断线性关系的步骤：a)设存在一组数k1，k2，…,km，使成立解该方程组,若方程组有非零解，则线性相关;若方程组仅有零解，则线性无关。b)代入各分量，得一齐次线性方程组【例10】判断向量组的线性关系解：设存在一组数k1，k2，k3，使即由有非零解即存在不全为零的数k1，k2，k3，使成立故向量组线性相关。定理2向量组线性相关的充P93要条件是中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。证明：设向量组线性相关则有一组不全为零的数，使得成

6、立不妨设k1≠0,则有即向量可由其余向量线性表示。故中至少有一个向量可由其余向量线性表示3、重要定理设向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示不妨设向量可由其余向量线性表示则有即成立取k1=-1,则k1，k2，…，km不全为零，使成立故向量组线性相关【例12】设是任一个n维向量，证明向量组线性相关证明：即可由线性表示由定理2知，向量组线性相关向量组线性无关的充要条件是中任一个向量都不能由其余向量线性表示。推论2.1推论2.2含有零向量的向量组必然线性相关。矩阵A的秩小于向量个数m定理3设向量组A：构成矩阵则向量组A线性相关的充要条件是即向量组线性无关的充要条件是P94)

7、.,,(21mAaaaL=其中即AX＝0有非零解。证明A02211mmxxxaaaL=+++线性相关就是齐次线性方程组向量组有非零解。【例13】【例14】线性相关方程有非零解有非零解线性相关的充要条件是推论3·1n个n维向量P94推论3.2n个n维向量线性无关的充要条件是P94证明：所以线性无关例如：证明：n维单位向量组前例8线性无关【例15】设向量组已知线性相关，且求解：05：数3问k取何值时：（1）线性相关（2）线性无关【例16】设向量组三个三维向量解：则当k=0或k=-3时：当k≠0且k≠-3时：故由定理3，必线性相关。