经典例题之空间向量与立体几何

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1、考点一证明空间点线共面例题1.已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？分析：要判断点与是否一定共面，即是要判断是否存在有序实数对，使或对空间任一点，有。解：由题意：，∴，∴，即，所以，点与共面．点评：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．例题2.如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．求证：平面．分析：要证明平面，只要证明向量可以用平面内的两个不共线的向量和线性表示．证明：如图，因为在上，且，所以．同理，又，所以．又与不共线，根据共面向量定理，可知，，共面

2、．由于不在平面内，所以平面．点评：空间任意的两向量都是共面的．考点二证明空间线面平行与垂直例题3.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC1//平面CDB1；分析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；（II）设C

3、B1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE//AC1，∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1//平面CDB1；解法二：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）第19页共19页ABCA1B1C1Exyz（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴•＝0，∴AC⊥BC1.（2）设CB1与C1B的

4、交战为E，则E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴DE∥AC1.点评：转化转化平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；主要依据是有关定义及判定定理和性质定理．例题4.在棱长为2的正方体的中点，P为BB1的中点.（I）求证：；（II）求证；（III）求异面直线所成角的大小.分析：本小题考查直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.解法一：（I）连结BC1由正方体的性质得BC1是BD1在平面BCC1B1内的射影，，所以(II)又，（III）延长由于正方体的棱长为2，即异面直线所成角的大小为arccos.解法二：（I）如图建立空间直角坐标系.则B（

5、2，2，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），D1（0，0，2）.第19页共19页………………3分（II），.（III），即异面直线所成角的大小为arccso点评：证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直即可.这些从本题证法中都能十分明显地体现出来考点三求空间图形中的角与距离根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围：异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°，其方法是：①定义法；②三垂线定理及其

6、逆定理；③垂面法另也可借助空间向量求这三种角的大小.例题5.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=1，AD=DC=.（1）求直线A1C与D1C1所成角的正切值；（2）在线段A1C上有一点Q，且C1Q=C1A1，求平面QDC与平面A1DC所成锐二面角的大小.分析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法求二面角的大小也可应用面积射影法，向量法办解法一：（I）为异面直线AC与D1C所成的角连AD，在Rt△ADC中，CD=，AD=2，第19页共19页（II）过Q作EF（在平面AC内）使EF//AB，连B1C、CF、DF，（面EFCD即平面QDC；面A1B1CD即平面A1D

7、C）即为二面角A1—DC—Q的平面角.~.，即所求二面角大小为30°解法二：（I）同解法一（I）（II）建立空间直角坐标系，第19页共19页即平面QDC与平面A1DC所成锐二面角为点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法.例题6.正三棱柱的所有棱长都是，是棱的中点，是棱的中点，交于点（1）求证