空间向量与立体几何典型例题

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时间:2018-11-11

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1、空间向量与立体几何典型例题一、选择题:1.(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值等于(C)A.B.C.D.1.解:C.由题意知三棱锥为正四面体,设棱长为,则,棱柱的高(即点到底面的距离),故与底面所成角的正弦值为.另解:设为空间向量的一组基底,的两两间的夹角为长度均为,平面的法向量为,则与底面所成角的正弦值为.二、填空题:1.(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形与正方形有一公共边,二面角的余弦值为,分别是的中点,则所成角的余弦值等于.1题图(1)1.答案:.设,作,则,为二面角的平面角,结合等边三角形与正方形可知此

2、四棱锥为正四棱锥,则,1题图(2)故所成角的余弦值另解:以为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则点,,则,故所成角的余弦值.三、解答题:1.(2008安徽文)如图,在四棱锥中,底面四边长为1的菱形,,,,为的中点。(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小;(Ⅱ)求点B到平面OCD的距离。1.方法一(综合法)(1)为异面直线与所成的角(或其补角)作连接,所以与所成角的大小为(2)点A和点B到平面OCD的距离相等,连接OP,过点A作于点Q,又,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离,,所以点B到平面OCD的距离为方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴

3、建立坐标系,(1)设与所成的角为,,与所成角的大小为(2)设平面OCD的法向量为,则即取,解得设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,,.所以点B到平面OCD的距离为2.(2008安徽理)如图,在四棱锥中,底面四边长为1的菱形,,,,为的中点,为的中点。(Ⅰ)证明:直线;(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小;(Ⅲ)求点B到平面OCD的距离。2.方法一(综合法)(1)取OB中点E,连接ME,NE又(2)为异面直线与所成的角(或其补角)作连接,所以与所成角的大小为(3)点A和点B到平面OCD的距离相等,连接OP,过点A作于点Q,又,线段AQ的长就是点A到平面O

4、CD的距离,,所以点B到平面OCD的距离为方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设平面OCD的法向量为,则即取,解得(2)设与所成的角为,,与所成角的大小为(3)设点B到平面OCD的交流为,则为在向量上的投影的绝对值,由,得.所以点B到平面OCD的距离为3.(2008北京文)如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.(Ⅰ)求证:PC⊥AB;(Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小.3.解法一:(Ⅰ)取AB中点D,连结PD,CD.∵AP=BP,∴PD⊥AB.∵AC=BC.∴CD⊥AB.∵P

5、D∩CD=D.∴AB⊥平面PCD.∵PC平面PCD,∴PC⊥AB.(Ⅱ)∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC,∴PC⊥BC.又∠ACB=90°,即AC⊥BC,且AC∩PC=C,∴AB=BP,∴BE⊥AP.∵EC是BE在平面PAC内的射影,∴CE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.在△BCE中,∠BCE=90°,BC=2,BE=,∴sin∠BEC=∴二面角B-AP-C的大小为aresin解法二:(Ⅰ)∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC.∴PC⊥BC.∵AC∩BC=C,∴PC⊥平面ABC.∵AB平面ABC,∴PC⊥A

6、B.(Ⅱ)如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0).设P(0,0,t),∵|PB|=|AB|=2,∴t=2,P(0,0,2).取AP中点E,连结BE,CE.∵|AC|=|PC|,|AB|=|BP|,∴CE⊥AP,BE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.∵E(0,1,1),∴cos∠BEC=∴二面角B-AP-C的大小为arccosACBDP4.(2008北京理)如图,在三棱锥中,,,,.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求二面角的大小;(Ⅲ)求点到平面的距离.4.解法一:(Ⅰ)取中点,连结.,.,.,平面.平面,.AC

7、BEP(Ⅱ),,.又,.又,即,且,平面.取中点.连结.,.是在平面内的射影,.是二面角的平面角.在中,,,,.ACBDPH二面角的大小为.(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面,平面平面.过作,垂足为.平面平面,平面.的长即为点到平面的距离.由(Ⅰ)知,又,且,平面.平面,.在中,,,..点到平面的距离为.解法二:(Ⅰ),,.又,.,平面.平面,.(Ⅱ)如图,以为原点建立空间直角坐标系.ACBPzxyHE则.设.,,.取中点,连结.,,,.是二面角的平面角.,,,.二面角的大小为.(Ⅲ),在平面内的射影为正的中心,且的长为点到平面

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