高观点下的几何学一

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1、《高观点下的几何学》一一、填空题。1．公理法的三个基本问题是（相容性问题）、（独立性问题）和（完备性问题）。2．公理法的结构是（原始概念的列举）、（定义的叙述）、（公理的列举）和（定理的叙述和证明）。3．仿射变换把矩形变成平行四边形4．仿射变换把平行线变成平行线5．仿射变换把正三角形变成三角形二、简答题。1．试给一个罗氏几何的数学模型。答：卡莱——克莱因模型2．试给一个黎曼几何的数学模型答：球面模型3．简述公理法的基本思想。答：公理法的基本思想是若干个原始概念（包括元素和关系）、定义和公理一起叫做一个公理体系，构成了一种几

2、何的基础。全部元素的集合构成了这种几何的空间。在这个公理体系的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明，原始概念、定义、公理和定理按照逻辑关系有次序地排列而构成命题系统——逻辑结构，这就是公理法思想。4．简述公理系统的独立性答：公理系统的独立性：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这条公理在公理系统中是独立的。如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。5．试着陈述非欧几何是怎样产生的？答：在试证第五公设的过程中，著名的欧几里得几何评论家萨开里、伦

3、伯特、勒让得等人都试图用反证法证明第五公设、试图从中找出与绝对几何命题相矛盾的结果，然而他们并没有得出什么矛盾结果，实际上这一系列的命题就是非欧几何的内容。6．简述公理系统的完备性。答：公理系统的完备性:如果公理系统的所有模型都是同构的，则称这个公理系统是完备的，或称其具有完备性。7．简述公理系统的相容性。答：公理系统的相容性:一个公理系统及其一切推论不含有矛盾命题时，称这个公理系统是相容的或无矛盾的。三、选择题。1．三角形内角和等于180度与（A）欧氏平行公理等价罗氏平行公理等价椭圆几何平行公设等价不可判定2．欧氏几何与

4、非欧几何的本质区别为（A）平行公设不同结合公理相同绝对公设不同结合公理不同3．设点共线，且在仿射变换下分别变成，则三点（A）A．共线B．三角形顶点C．可能不共线D．可能重合4．正方形在仿射变换下变成（B）A．正方形B．平行四边形C．菱形D．矩形5．正方形的下列性质中哪些是仿射的(14)（1）对边平行；（2）四角相等；（3）四边相等；（4）对角线互相平分；（5）对角线互相垂直；（6）角被对角线平分；（7）对角线相等；（8）面积6．在仿射对应下，哪些量不变？（C）A．长度B．角度C．单比D．交比四、计算与证明题。1．求出将点变

5、成点的绕原点的旋转变换，再将所得的变换用于抛物线上。解：设所求的旋转变换为则于是所求的旋转变换为即将此变换用于所给的抛物线得。2．试确定仿射变换，使轴、轴的象分别为直线和，且点的象为原点。解：所求变换的公式为其中则变成直线但由题设变成可知，与表示同一直线。所以因此同理此处是参数。又因为点（1，1）的象为原点，于是，所以，所求变换的逆式为由此得出所求的仿射变换为3．求出将点变成点的平移变换，在这个平移变换下，抛物线变成什么曲线？解：设所求的平移变换为将已知对应点的坐标代入上式得于是所以所求的平移变换为即将此变换用于所给的抛物

6、线上即4．求仿射变换的二重直线。解：设所求的不变直线为（不同时为0）即在所给的变换下，对应因为所以消去得展开化简得解得由于当时，，因此不对应不变直线，分别将代入（1），（2），（3）得和所以不变直线为和5．证明，直线将两点与的连线段分成的比是。6．求证：相交于影消线的二直线必射影成两平行线。证明：设二直线和交于点，点在影消线上，和经射影对应，对应直线为和，则点对应无穷远点。由于射影对应保持结合性不变，所以的对应点是和的交点，即无穷远点，也就是∥。《高观点下的几何学》二一、填空题。1．设共线三点，则22．如果两个向量线性相关

7、，则它们的位置关系是（共线），夹角为（00或1800）。3．空间中三个向量线性相关当且仅当它们（共面），空间中的四个向量一定（线性相关）4．设与是两个非零向量，若与线性相关，则。5．已知向量，则与之间的内积。二、选择题。1．下列性质或量中哪些是仿射的(（1）（3）（４）（8）)（1）线段的中点；（2）角的平分线；（3）交比；（4）点偶的调和共轭性（5）角度（6）三角形的面积（7）两相交线段的比（8）两平行线段的比（9）对称轴（10）对称中心2．设与是两个非零向量，若，则（B）。与平行与垂直与线性相关与的夹角为3．设与是两个

8、非零向量，则下列结论正确的是（A）。4．下列说法错误的是（B）A．平面上两个向量线性无关当且仅当它们不共线；B．平面上两个向量线性无关当且仅当它们垂直C．平面上两个向量线性无关当且仅当它们平行D．平面上的三个向量一定线性相关5．设与是两个非零向量，若，则（D）与平行与交角为锐角。与线性相关与的夹角为三、