高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题6 函数与导数 突破点15 函数与方程学案 文

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1、突破点15　函数与方程[核心知识提炼]提炼1函数y＝f(x)零点个数的判断(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：对于不能求解的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．(3)定理法：利用函数零点的存在性定理，即如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点.提炼2已知函数零点个数，求参数的值或取值范围已知函数零点个数，求参数的值或取值范围问题，一般利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题．要注意观察是否需要将一个复杂函数转化为两个相对较

2、为简单的函数，常转化为定曲线与动直线问题．[高考真题回访]回访　已知函数零点个数，求参数的值或取值范围1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)A．－　　　　　B．C.D．1C　[法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，∴函数g(t)为偶函数．∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g

3、(0)＝0，∴2a－1＝0，解得a＝.故选C.非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。法二：f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.ex－1＋e－x＋1≥2＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．若a＞0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.若a≤0，则f(x)的零点不唯一．故选C.]2．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f

4、(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，－2)B．(1，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－∞，－1)A　[f′(x)＝3ax2－6x，当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0；x∈时，f′(x)>0，注意f(0)＝1，f＝>0，则f(x)的大致图象如图(1)所示．图(1)不符合题意，排除B、C.当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈时，f′(x)<0，x∈时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意f(0)＝1，f＝－，则f(x)的

5、大致图象如图(2)所示．非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。图(2)不符合题意，排除D.]热点题型1　函数零点个数的判断题型分析：函数零点个数的判断常与函数的奇偶性、对称性、单调性相结合命题，难度中等偏难．【例1】(1)(2017·贵阳二模)已知函数f(x)＝当1＜a＜2时，关于x的方程f[f(x)]＝a实数解的个数为(　　)【导学号：04024128】A．2　　　　　B．3C．4D．5(2)已知函数f(x)＝cosx，g(x)＝2－

6、x－2

7、，x∈[－2,6]，则

8、函数h(x)＝f(x)－g(x)的所有零点之和为(　　)A．6　　　B．8C.10　　　D．12(1)C　(2)D　[(1)因为函数f(x)＝1＜a＜2，作出函数f(x)的图象，令f(x)＝t(t＞0)，则f(t)＝a，a∈(1,2)，所以t∈∪(e，e2)，当t∈时，因为＜1，由f(x)＝t可得此时有两个解；当t∈(e，e2)时，因为e＞2，由f(x)＝t可得此时有两个解，故关于x的方程f[f(x)]＝a实数解的个数为4，故选C.非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持

9、。(2)函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点之和可转化为f(x)＝g(x)的根之和，即转化为y1＝f(x)和y2＝g(x)两个函数图象的交点的横坐标之和．又由函数g(x)＝2－

10、x－2

11、与f(x)的图象均关于x＝2对称，可知函数h(x)的零点之和为12.][方法指津]求解此类函数零点个数的问题时，通常把它转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝g(x)的图象与函数y