高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题6 函数与导数 第15讲 函数与方程教学案 理

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1、第15讲　函数与方程题型1　函数零点个数的判断(对应学生用书第50页)■核心知识储备………………………………………………………………………·1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．■典题试解寻法…………

2、……………………………………………………………·【典题1】　(考查数形结合法判断函数的零点个数)已知定义在R上的函数f(x)满足：①图象关于(1,0)点对称；②f(－1＋x)＝f(－1－x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝则函数y＝f(x)－在区间[－3,3]上的零点个数为(　　)A．5　　B．6C．7D．8[思路分析]　函数y＝f(x)－在区间[－3,3]上的零点个数函数y＝f(x)与函数y＝在[－3,3]上的图象交点个数下结论．[解析]　因为f(－1＋x)＝f(－1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又函数f(x)的图象关于

3、点(1,0)对称，如图，画出f(x)以及g(x)＝非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。在[－3,3]上的图象．由图可知，两函数图象的交点个数为5，所以函数y＝f(x)－在区间[－3,3]上的零点个数为5，故选A.[答案]　A【典题2】　(考查应用零点存在性定理判断函数的零点个数)已知函数fn(x)＝xlnx－(n∈N*，e＝2.71828…为自然对数的底数)．(1)求曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程；(2)讨论

4、函数fn(x)的零点个数.【导学号：07804105】[解]　(1)因为f1(x)＝xlnx－x2，所以f1′(x)＝lnx＋1－2x，所以f1′(1)＝1－2＝－1.又f1(1)＝－1，所以曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程为y＋1＝－(x－1)，即y＝－x.(2)令fn(x)＝0，得xlnx－＝0(n∈N*，x>0)，所以nlnx－x＝0.令g(x)＝nlnx－x，则函数fn(x)的零点与函数g(x)＝nlnx－x的零点相同．因为g′(x)＝－1＝，令g′(x)＝0，得x＝n，所以当x>n时，g′(x)<0；当0

5、(x)>0，所以函数g(x)在区间(0，n]上单调递增，在区间[n，＋∞)上单调递减．所以函数g(x)在x＝n处有最大值，且g(n)＝nlnn－n.①当n＝1时，g(1)＝ln1－1＝－1<0，所以函数g(x)＝nlnx－x的零点个数为0；②当n＝2时，g(2)＝2ln2－2<2lne－2＝0，所以函数g(x)＝nlnx－x的零点个数为0；③当n≥3时，g(n)＝nlnn－n＝n(lnn－1)≥n(ln3－1)>n(lne－1)＝0，因为g(e2n)＝nlne2n－e2n<2n2－4n＝2n2－(1＋3)n<2n2－<2n2－[1＋3n＋3n(n－

6、1)]＝－n2－1<0，且g(1)<0，所以由函数零点的存在性定理，可得函数g(x)＝nlnx－x在区间(1，n)和(n，＋∞)内都恰有一个零点．所以函数g(x)＝nlnx－x的零点个数为2.综上所述，当n＝1或n＝2时，函数fn(x)的零点个数为0；当n≥3且n∈N*时，函数fn(x)的零点个数为2.[类题通法]非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。1.求函数零点个数的两种方法：(1)由函数零点存在性定理，结合函数的单调性判断；(

7、2)由函数的单调性及函数极值的正负来确定.2.零点个数的讨论,对于不可求的零点，需要通过方程转化为初等函数的交点个数判断.3.零点讨论中的参数,针对参数的讨论有两个方向：一是方程根的个数；二是参数对构造的初等函数图象形状的影响.■对点即时训练………………………………………………………………………·1．已知函数f(x)＝，则函数F(x)＝f[f(x)]－2f(x)－的零点个数是(　　)A．4B．5C．6D．7A　[(数形结合思想)令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)－2t－＝0有根的问

8、题．令y＝f(t)－2t－＝0，即f(t)＝2t＋，如图(1)，由数形结合得t1＝0,1