高考数学二轮复习 第1部分 技法篇 数学思想专练1 函数与方程思想

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1、数学思想专练(一)　函数与方程思想题组1　运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题1．已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn是其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8的值为(　　)A．16　　　B．32　　　C．64　　　　D．62C　[由题意可知a＝a1a5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，解得d＝2，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.∴S8＝＝4×(1＋15)＝64.]2．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　)A．x＋y≥0B．x＋y≤0C．x－y≤0D．x－y≥0B　[原不等式可化为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数y＝2x－5－x

2、，其为R上的增函数，所以有x≤－y，即x＋y≤0.]3．若关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1，x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2，则k的取值范围是(　　)A.B.C.D.B　[构造函数f(x)＝x2＋2kx－1，因为关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1，x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2，所以即所以－＜k≤0，所以k的取值范围是.]4．(2017·南昌三模)已知α是锐角三角形的最小内角，向量a＝(sinα，1)，b＝(1，cosα)，则a·b的取值范围是________.(1，]　[a·b＝sinα＋cosα＝sin，由0＜α≤得＜α＋≤π，所以＜sin≤1，所

3、以1＜a·b≤.]非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。5．(2016·郑州模拟)已知函数f(x)＝xlnx＋a，g(x)＝x2＋ax，其中a≥0.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)也相切，求a的值；(2)证明：x＞1时，f(x)＋＜g(x)恒成立．[解]　(1)由f(x)＝xlnx＋a，得f(1)＝a，f′(x)＝lnx＋1，所以f′(1)＝1．1分所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为y＝x＋a－1.因为

4、直线y＝x＋a－1与曲线y＝g(x)也相切，所以两方程联立消元得x2＋ax＝a＋x－1，即x2＋(a－1)x＋1－a＝0，3分所以Δ＝(a－1)2－4××(1－a)＝0，得a2＝1.因为a≥0，所以a＝1．6分(2)证明：x＞1时，f(x)＋＜g(x)恒成立，等价于x2＋ax－xlnx－a－＞0恒成立．令h(x)＝x2＋ax－xlnx－a－，则h(1)＝0且h′(x)＝x＋a－lnx－1．6分令φ(x)＝x－lnx－1，则φ(1)＝0且φ′(x)＝1－＝，8分所以x＞1时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增，所以φ(x)＞φ(1)＝0.又因为a≥0，所以h′(x)＞0，h(

5、x)单调递增，所以h(x)＞h(1)＝0，所以x＞1时，x2＋ax－xlnx－a－＞0恒成立，11分即x＞1时，f(x)＋＜g(x)恒成立．12分题组2　利用函数与方程思想解决几何问题6．设抛物线C：y2＝3px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，

6、MF

7、＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(　　)A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。

8、C　[由抛物线的定义可知MF＝xM＋＝5，∴xM＝5－，y＝15p－，故以MF为直径的圆的方程为(x－xM)(x－xF)＋(y－yM)(y－yF)＝0，即＋(2－yM)(2－0)＝0.∴yM＝2＋－＝2＋⇒yM＝4，p＝或.∴C的方程为y2＝4x或y2＝16x.]7．已知正四棱锥的体积为，则正四棱锥侧棱长的最小值为(　　)A．2　　B．2　　C．2　　D．4A　[设正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为x，高为h，由题意知a2h＝，得a2h＝32，从而a2＝，又x2＝h2＋a2＝h2＋，令g(h)＝h2＋，则g′(h)＝2h－＝，当0＜h＜2时，g′(h)＜0；当h＞2时，g′

9、(h)＞0.从而g(h)在h＝2时有最小值，即g(h)min＝12.从而x有最小值2，故选A.]8．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，并且经过定点P.(1)求椭圆E的方程；(2)问：是否存在直线y＝－x＋m，使直线与椭圆交于A，B两点，且满足·＝？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.[解]　(1)由e＝＝且＋＝1，c2＝a2－b2，解得a2＝4，b2＝1，即椭圆E的方程为＋y2＝1．6分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由⇒x2＋4(m－x)2－4＝0⇒5x2－8mx＋4m2－4＝0.(*)非常感谢