高中数学 第二章 圆柱、圆锥与圆锥曲线 2_1 平行投影与圆柱面的平面截线学案 新人教b版选修4-1

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1、2.1平行投影与圆柱面的平面截线[对应学生用书P37]　[读教材·填要点]1．平行投影(1)回顾必修二定义：已知图形F，直线l与平面α相交，过F上任意一点M作直线MM′平行于l，交平面α于点M′，则M′叫做点M在平面α内关于直线l的平行投影．如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F′，则F′叫做图形F在α内关于直线l的平行投影，平面α叫做投影面，l叫做投射线，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影．(2)平行投影的性质(直线与投影线不平行)：①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平

2、行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段比．2．圆柱面的平面截线如果一个平面垂直于一圆柱的轴，截圆柱所得的截线为一圆；如果一个平面与圆柱的轴所成角为锐角，截圆柱所得的截线形状为椭圆．[小问题·大思维]1．正投影与平行投影之间有什么关系？提示：正投影是平行投影中投射线的方向与投射面垂直的一种特殊情况．2．一个圆在一个平面上的正投影是什么形状？提示：若一个圆所在平面β与平面α平行，该圆在平面α内的正投影为一个圆；如果β与平面α垂直，则圆在平面

3、α的正投影为一条线段；若平面β与平面α不平行也不垂直时，该圆在平面α上的正投影为一个椭圆．综上可知，一个圆在一个平面上的投影可能为一条线段、椭圆或圆．[对应学生用书P37]　非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。点的投影[例1]　如图所示，在三棱锥P－ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，△ABC和△PEF都是正三角形，且PF⊥AB.求证：点C在平面PAB内的正射影为点P.[思路点拨]　本题考查正投影的概念，解答本题需证明PC⊥平面PA

4、B.[精解详析]　在三棱锥P－ABC中，由△ABC是正三角形，可设AB＝BC＝AC＝a.∵E，F分别是AC，AB的中点，且△PEF是正三角形，∴PE＝PF＝EF＝BC＝a.∵PF⊥AB，∴PA2＝AF2＋PF2＝2＋2＝a2，同理，PB2＝a2.又∵AF＝AE，PF＝PE，∴PA2＝PE2＋AE2，∴PE⊥AC.∴PC2＝PE2＋EC2＝2＋2＝a2，∴PA2＋PC2＝a2＋a2＝a2＝AC2，∴PA⊥PC.又∵PB2＋PC2＝a2＋a2＝a2＝BC2，∴PB⊥PC.∴PC⊥平面PAB，即点C在平面PAB内的正射影是点P.因为点在任何平面上的投影仍然是点

5、，所以解决此类问题的关键是正确作出点在平面内的正投影．1.如图，P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。内的正投影．(1)若P点到△ABC的三边距离相等，且O点在△ABC的内部，那么O点是△ABC的什么心？(2)若PA、PB、PC两两互相垂直，O点是△ABC的什么心？解：(1)由P到△ABC的三边距离相等，故有O到△ABC的三边距离相等，∴O为△ABC的内心．(2)∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴P

6、A⊥BC，又∵PO⊥BC，∴OA⊥BC，同理OB⊥AC，OC⊥AB，∴O为△ABC的垂心.几何图形的投影[例2]　有下列4个命题：①矩形的平行投影一定是矩形；②矩形的正投影一定是矩形；③梯形的平行投影一定是梯形；④梯形的正投影一定是梯形，其中正确命题的个数是(　　)A．0　　　　　　B．1C．2D．3[思路点拨]　本题考查平行投影的概念，解答本题需要考虑到投影面的位置不同，则投影的形状会不同．[精解详析]　①矩形的平行投影可以是矩形、平行四边形或线段，不正确；②矩形的正投影也有矩形、平行四边形、线段三种情况，不正确；③梯形的平行投影可以是梯形、线段，不正

7、确；④梯形的正投影也可能是梯形、线段，不正确．[答案]　A不论是正投影还是平行投影都应考虑图形所在的平面与投影方向的夹角的变化关系，注意不漏、不缺，考虑问题要全面．2．关于直角AOB在定平面α内的投影有如下判断：①可能是0°的角；②非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角，其中正确判断的序号是________(注：把你认为是正确判断的序号都填上)．解析：设直角AOB所在平面为β，在

8、α与β垂直时直角AOB投影为一条射线，从而投影为0°的角，α与β平行时投影为直角