函数与导数-试题君之大题精做2019年高考数学（理）---精校解析Word版

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1、函数和导数经典精做1．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若，函数，试判断是否存在，使得为函数的极小值点．【解析】（1）依题意可得函数的定义域为，，当时，；当，，故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．2．已知函数（）.（1）若，求函数的极值点；（2）若，且在上恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）函数的定义域为.当时，，.①当时，，又，所以，函数单调递增，无极值点；②当时，由，解得.（2）若，则，.记，则，显然在上单调递增，所以，所以函数在上单调递增，故.①当，即时，，即，所以函数在上单调递增，所以，显然不等式恒成立.②当，即时，因为函数在上单调

2、递增，且，所以存在，使得.当时，，即，函数单调递减；当时，，即，函数单调递增.所以.而.所以不能恒成立.故不合题意.综上，实数的取值范围为.3．已知函数，.（1）当时，求函数的极值；（2）若，使得成立，求实数的取值范围.（2）设，则函数的定义域为，，由题意知，令，得.①若，即或，i）当时，令，得，∴在区间上单调递增，在上单调递减，∴在区间上恒成立，∴在区间上单调递减，∴，即，∴，∴；ii）当时，令，得或，∴在区间和上单调递增，在上单调递减，∴在区间上恒成立，∴在区间上单调递增，∴，∴此时无解；②当，即时，令，得或，∴在区间，上单调递增，在上单调递减；ii

3、i)当，即时，在区间上单调递减，∴，即，∴，∵，∴.综上所述，若，使得成立，则实数的取值范围是.4．已知函数．（1）当时，试判断函数的单调性；（2）若，求证：函数在上的最小值小于．【解析】（1）由题可得，设，则，所以当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以，因为，所以，即，所以函数在上单调递增．5．已知函数，其中为常数且，为自然对数的底数．（1）记，讨论函数的单调性；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．（2）由题可得，，当时，，即函数在上单调递减，所以当时，，与题意不符，所以．令，则，显然当时，，故函数在上单调递增，即函数在上单调递增．因

4、为，且不等式对任意的恒成立，所以函数在上单调递增，即当时，，所以，解得，故实数的取值范围是．6．已知函数．（1）证明：当时，；（2）当时，讨论关于x的方程的根的个数．（2）①当时，易得关于x的方程不成立；②当时，由可得，即，令，则问题可转化为讨论直线与函数的图象的交点个数.由，可得，易知恒成立，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，又易知当时，恒成立，且，所以当时，直线与函数的图象有且只有一个交点，即关于x的方程有且只有一个实数根.1．（【全国市级联考】江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷理科数学（五）试题）已知函数，．（1）讨论函

5、数的单调性；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围．（2）由题知（），由时，恒有，知，①当，即时，恒成立，即在上单调递增，（合题意）；②当时，即时，此时导函数有正有负，且有，由，令得，且在上单调递增，当时，，，，，故在上存在唯一的零点，当时，，即在上单调递减，此时，知在上单调递减，此时与已知矛盾（不合题意）；综合上述：满足条件的实数的取值范围．【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下

6、几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．2．（2018年普通高等学校招生考试预测金卷-理科数学）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设，若有两个零点，求的取值范围．【解析】（1）的定义域为，，，对于，，当时，，则在上是增函数.当时，对于，有，则在上是增函数.当时，令，得或，令，得，所以在，上是增函数，在上是减函数.综上，当时，在上是增函数；当时，在，上是增函数，在上是减函数.

7、3．（四川省华蓥市第一中学2019届高三入学调研考试数学（一）试题）已知函数，．（1）若，求函数的极值；（2）设函数，求函数的单调区间.【解析】（1）的定义域为，当时，，，10+单调递减极小值单调递增所以在处取得极小值1．函数没有极大值．4．（东北师范大学附属中学2018届高三第五次模拟考试数学试题）已知函数．（1）求函数的单调区间与极值；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：.【解析】（1）定义域为.，令，得.0单调递增极大值单调递减由上图表知：的单调递增区间为，单调递减区间为.的极大值为，无极小值.（2），令又，令解得，当x在内变

8、化时，，变化如下表：x)+0↗↘由表知，当时函数有极大值，且最大值为，所以.【名