“数形结合”思想在数学解题中的作用

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1、“数形结合”思想在数学解题中的作用　　“数学是思维的体操”，思维是解决问题的前提，抽象思维更在解决数学问题中起着重要的作用.然而一个问题的成功解决往往仅靠抽象的孤立的思维是不够的，还需要从“形”的角度去理解，去研究，变抽象为形象，将抽象复杂的问题转化为形象直观的几何图形，使人感到形象化，直观化，从而开导人们的思路，启迪人们找到一条解决问题的有效途径和方法，化难为易，化繁为简，化隐为显，这样才能使问题简捷地得以解决.因而我们要重视“形”的运用，要善于用“形”，要有一种一见数或式就能联想到相关图形的主观感知，即“形感”.　　“形”本身就蕴含着问题的特征和解题的导向.实

2、际上“形”可以使人们不受固定的逻辑规则制约，可以让人们直接领悟事物的本质.通过“形”的展现与变换我们的观察将会更敏锐，想象将会更丰富，判断将会更迅速，猜想将会更深刻.因为它可以越过思维的中间推理阶段，直接洞察问题的本质与规律，直达有关结论.因而在解数学题时，要有“形感”，要会用“形”.　　当我们面临问题的时候，可以不急于动手计算，试试作出图形，解析图形，将会出现意想不到的效果.　　一、具体和直观　　用“形”可以使问题的条件具体化、明朗化.3　　题目1：铁路的附近有两个村庄，问在铁路上何处建站，才能使两个村庄到站的距离之和最小呢？　　分析：这是一个距离和最小值问题，

3、若以图形来说明，则问题的条件就会更加形象化，明朗化，从而解题的思维更加明确.　　作出图形，发现有两种情况：　　对于图1：若村庄A、B在铁路L的两侧，则如图显然站建在AB的连线与L的交点z上.　　对于图2：若村庄A、B在铁路L的同侧，则作A关于L的对称点A′，站应建在A′B的连线与L的交点z′上.通过图形，显然得知，这是一题用对称来解决距离和最小值问题.　　二、准确和直接　　用“形”可以迅速发现问题的特点，直接切中问题的要害.　　题目2：定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动，M是线段AB的中点，求M点到y轴的最短距离.　　当时，学生对结论十分感兴趣，

4、发觉（*）式的“形”是多么的和谐与美妙；就是将圆方程的x2改写成x0x，y2改写成y0y，便是切线方程，于是他们提出了大胆的猜想.　　猜想1：若圆的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2，则过其一点M（x0，y0）的切线方程必是：（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.　　猜想2：过抛物线y2=2px上一点M（x0，y0）的切线方程是y0y=2p（x02+x2）.　　猜想3：过椭圆x2a2+y2b2=1上的一点M（x0，y0）的切线方程是x0ax+y0by=1.3　　猜想4：过双曲线x2a2-y2b2=1上一点M（x0，y0）的切线方程是x0ax-y

5、0by=1.　　猜想5：是否对于每个二次曲线上一点M（x0，y0）的切线方程，都是将其中的Ax2改写成Ax0x，Bxy改写成B2（x0y+y0x），Cy2改写成Cy0y，Dx改写成D（x02+x2），Ey改写成E（y02+y2）呢.　　对于猜想1、2，学生都分别用圆心到直线的距离等于半径和方程组有重根加以证明了.对于猜想3、4，有部分学生自学过后面的内容采用方程组有重根的方法得以证明，或用导数得到证明.　　对于猜想5，这是一个很经典的结论，用方程组有重根的方法证很繁，在左铨如《解析几何教程》里有所证明.通过“图形”和“代数式的变形”学生能大胆地猜测出5个结论，真正

6、意想不到，效果极佳.　　由此可见，“形感”起着逻辑思维等诸多思维不可替代的作用；“数无形时少直观”，有些几何问题在没有图形辅助的情况下，解题思维几乎无法开展；因而在进行数学解题时要善于用“形”.　　当然，“形”感的培养，主要体现在识形、作形、用形的能力与意识的培养，要善于处理“形”的信息，寻找形与文字符号之间的联系，剖析几何形态，捕捉“形”的特征，根据“形”的变化，大胆预言与猜测.这需要我们对“形”的概念应明晰，做到对每个图形应有基本式、变式及其内在联系了然于心.将抽象思维与形象思维紧密结合，从而能直觉敏锐地进行识别、分析、形成对问题的综合判断，最终得到解题方法和

7、思路，会使我们的思维更准确，更缜密，更快捷.　　江苏省扬州市邗江区蒋王中学（225126）3