高中数学 第一章 计数原理 5 二项式定理知识导航 北师大版选修

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1、在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求§5二项式定理自主整理1.(a+b)n=_______________________________________________________________.这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a+b)n的二项展开式，（a+b)n的二项展开式有_______________项，其中各项的系数_______________称为二项式系数，_______________称为二项展开式的第______________

2、_项，又称为二项式通项.2.在二项式定理中，如果设a=1,b=x，则得到公式：(1+x)n=____________________________________________________________.3.当n依次取1,2,3,…时，(a+b)n展开式的二项式系数如下图所示：图中所示的表叫作二项式系数表，它有这样的规律：①表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数字的_______________，即_______________；②与首末两端“等距离”的两个二项式系数_______________，即_______________.高手笔

3、记1.二项展开式的项数为n+1项.2.各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.3.字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.4.二项式的系数从C,C,一直到C,C.5.Tr+1=Can-rbr,可以表示（a+b)n的二项展开式中的任意一项，只要r确定.6.Tr+1是（a+b)n的二项展开式的第r+1项，而不是第r项.7.二项式系数与项的系数是不同的，如(a+bx)n(a、b∈C)的展开式中，第r+1项的二项式系数是C，而第r+1项的系数为C名师解惑1.如何应用二项式的通项公式解题？剖析：通项

4、公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数.（1）运用通项公式Tr+1=C解题，一般都需先转化为方程（组）求出n、r，然后代入通项公式求解.（2）求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系.2.二项展开式的性质剖析：（1）如果n是偶数，则中间一项（第配合各任课老师，激发学生的学习兴趣，挖掘他们的学习动力，在学生中培养苦学精神，发扬拼搏精神，形成以勤学为荣的班风；充分利用学校开展的“不比基础比进步，不比聪明比勤奋”以及具有储能特色的“当月之星”的评选活动，积极探索

5、素质教育的新途径在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求+1项）的二项式系数最大；如果n为奇数，则中间两项（第n+项与+1项）的二项式系数相等并且最大.（2）所有二项式系数的和等于2n，即C+C+…+C=2n.(3)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等.即C++…=C+C+…=2n-1.3.运用二项式定理解题时有哪些常用的方法？剖析：（1）赋值法.在(a+b)n展开式中令a=b=1，得C+C+…+C=2n;令a=1,b=-1得C-C+C-C+…=0,∴C

6、+C+C+…=C+C+C+…=2n-1.这种由一般到特殊的方法是“赋值法”.（2）利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧.讲练互动【例1】写出(x-y)11的展开式中：（1）通项Tr+1;(2)二项式系数最大的项；（3）项的系数绝对值最大的项；（4）项的系数最大的项；（5）项的系数最小的项；（6）二项式系数的和；（7）各项的系数的和.分析：本题的最大特点是展开式的二项式系数与项的系数有的相同，有的仅差一负号.因此，系数最大和最小的项可直接利用二项式系数最大和最小的项来解决.二项式系数的和可利用和为2n这一性质求解；各项系数的和可利用二项式定理或

7、赋值法求解.解：（1）Tr+1=(-1)r·Cx11-ryr.(2)展开式中二项式系数最大的项为中间两项T6=-Cx6y5,T7=Cx5y6.(3)由于本题中系数绝对值最大的项就是二项式系数最大的项，因此，系数绝对值最大的项也是中间两项T6=-Cx6y5,T7=Cx5y6.(4)由（3）知，项的系数最大的项是T7=Cx5y6.(5)由（3）知，项的系数最小的项是T6=-Cx6y5.(6)展开式中，二项式系数的和为C+C+…+C=211.(7)展开式中，各项系数的和为C+…+(-1)11C=(1-1)11