双目标规划问题的像集与求解

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1、双目标规划问题的像集与求解　　摘要经济管理的决策目标往往与成本、收益相关，双目标规划在经济管理中具有广泛应用.然而，尚缺乏成熟的算法确定双目标规划问题的全部解.给出双目标规划问题像集的一般性确定法，以求其解，为研究目的所在.具体而言，构造一个带等式约束的单目标规划问题，以确定双目标规划问题像集之部分边界，并借助拉格朗日乘子符号判断其单调性，据此确定原问题的帕累托解与弱帕累托解.这相当于提供了一个求解双目标规划问题的一般性框架.　　关键词最优化；双目标规划解法；单目标规划；像集；弱帕累托解　　中图分类号F224-3文献标识码A　　Abstract

2、Theobjectiveofdecisionmakingineconomicmanagementisoftenrelatedtocostandbenefit.Agoodcaseinpointisthatbiobjectiveprogrammingbasedoncostbenefitanalysisiswidelyusedineconomicmanagement.However，sofar，thereisstillalackofmaturealgorithmstodeterminethefullsolutionoftheBiobjectivepr

3、ogrammingproblem.Ageneralmethod，whichwasusedtogettheParetosolutionorweakParetosolutionfordoubleobjectiveoptimizationproblems，wasputforwardinthisresearch.Tobespecific，weconstructedasingleobjectiveprogrammingwithequalityconstraintodeterminethefrontierof10theimagesetofdoubleobj

4、ectiveoptimizationproblems.Furthermore，wecoulddeterminethefrontier'sfunctionalmonotonicityusingLagrangemultiplierandfinallygettheParetosolutionorweakParetosolution.Baseonabovesteps，Ageneralframeworkwaspresentedtosolvedoubleobjectiveprogrammingproblem.　　KeywordsOptimization，T

5、heMethodofSolvingDoubleObjectiveProgramming，SingleObjectiveProgramming，ImageSet，WeakParetoSolution　　1引言　　多目标规划的解法可区分为间接算法与直接算法两种.间接法的一般思路是将多个目标转换为单一目标进行处理，往往只能得到问题的一个解或部分解.如杨轶华、吕显瑞、刘庆怀等（2006）所指出的，间接法存在顾此失彼之缺点[1].直接法则以同伦法为代表，通过构造同伦映射确定多目标规划问题的解，直指多目标规划问题本身，可回避间接法之缺点.其中，刘庆怀、林正

6、华（2000）考察采用该算法确定问题的最小弱有效解[2]，而杨轶华、吕显瑞、刘庆怀等（2006）则采用该算法确定多目标规划问题的一个有效解集[1].10　　考虑到万事万物好与坏、收益与成本等双分类的普遍性，多目标规划中的双目标规划具有极为重要的应用价值，常用于企业管理决策[3-5]、交通设置优化[6-7]等现实问题.不失一般性，双目标规划问题的求解也可借助多目标规划求解方法.事实上，杨轶华、吕显瑞、刘庆怀等（2006）考虑了同伦内点算法在双目标规划求解中的应用[1]，而曾玉华、彭拯（2010）同样考虑了双目标规划问题的一种直接算法，即非精确交替

7、方向法[8].下文拟提出双目标规划的一个更具一般性的应用分析框架，从属于直接法，从问题的像集结构入手，试图确定问题的全部解.　　2双目标规划相关概念　　考虑如下一般形式的双目标规划问题：　　minx∈Xθ1x，　　minx∈Xθ2x.（1）　　假设目标函数θ1x，θ2x都可微.　　称xp∈X为其帕累托解，如果不存在x∈X，使得　　θ1x≤θ1xp，　　θ2x≤θ2xp.　　且其中至少有一个为严格不等式.　　称xw∈X为问题（1）的弱帕累托解，如果不存在x∈X，使得下列不等式组成立：　　θ1x<θ1xw，　　θ2x<θ2xw.　　多目标规划问题的

8、帕累托解或弱帕累托解其定义依据是目标函数值，因此，研究多目标规划问题的像集是求解多目标规划问题确定其帕累托解与弱帕累托解的最直接手段.特别是，双目标规