数学:1.3.1《函数的单调性与导数》教案(新人教a版选修2-2)设计

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1、1.3.1函数的单调性与导数(一)一、教学目标:了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点:利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点:判断复合函数的单调区间及应用;利用导数的符号判断函数的单调性.三、教学过程(一)复习引入1.增函数、减函数的定义一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.2.函数的单调性如果函数

2、y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的.例1讨论函数y=x2-4x+3的单调性.解:取x1<x2,x1、x2∈R,取值f(x1)-f(x2)=(x12-4x1+3)-(x22-4x2+3)作差=(x1-x2)(x1+x2-4)变形当x1<x2<2时,x1+x2-4<0,f(x1)>f(x2),定号∴y=f(x)在(-¥,2)单调递减.判断当2<x1<x2时,x1+x2-4>0,f(x1)<f(x2),∴y=f(x)在(2,+∞)单

3、调递增.综上所述y=f(x)在(-¥,2)单调递减,y=f(x)在(2,+∞)单调递增。能否利用导数的符号来判断函数单调性?一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f(x)'>0,则f(x)为增函数;如果f(x)'<0,则f(x)为减函数.例2.教材P24面的例1。例3.确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.解:f(x)'=2x-2.令2x-2>0,解得x>1.因此,当x∈(1,+∞)时,f(x)是增函数.令2x-2<0,解得x<1.因此,当x∈(-∞,1)时,f(x)是减函数.例4.确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪个区间内

4、是增函数,哪个区间内是减函数.解:f(x)'=6x2-12x.令6x2-12x>0,解得x<0或x>2.因此,当x∈(-∞,0)时,函数f(x)是增函数,当x∈(2,+∞)时,f(x)也是增函数.令6x2-12x<0,解得0<x<2.因此,当x∈(0,2)时,f(x)是减函数.利用导数确定函数的单调性的步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求出函数的导数;(3)解不等式f¢(x)>0,得函数的单调递增区间;解不等式f¢(x)<0,得函数的单调递减区间.练习1:教材P24面的例2利用导数的符号来判断函数单调性:设函数y=f(x)在某个区间内可导(1)如果f'(x)>0,则

5、f(x)为严格增函数;(2)如果f'(x)<0,则f(x)为严格减函数.思考:(1)若f'(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的什么条件?若f'(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分而非必要条件.例如f(x)=x3,当x=0,f'(x)=0,x≠0时,f'(x)>0,函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上是增函数.(2)若f'(x)=0在某个区间内恒成立,f(x)是什么函数?若某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)为常数函数.练习2.教科书P.26练习(1)(三)课堂小结1.判断函数的单调性的方法;2.导数与单调性的关系;3.证明单调性的方法.(四)作业亲爱的同学:经

6、过一番刻苦学习,大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧!成绩肯定会很理想的,在以后的学习中大家一定要用学到的知识让知识飞起来,学以致用!在考试的过程中也要养成仔细阅读,认真审题,努力思考,以最好的状态考出好成绩!你有没有做到这些呢?是不是又忘了检查了?快去再检查一下刚完成的试卷吧!

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