构造法，数学解题的一把利刃

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1、构造法，数学解题的一把利刃　　摘要：课程标准指出：数学课堂要摒弃机械训练、方法陈旧的课堂模式，代之以思想开放、乐于探究的开放型课堂。要达到这一目标，我们就必须讲究解题方法，提高学生思维的活跃性。构造法是一种常见的数学模型，对学生的思维灵活要求较高，教师可以借此方法充分调动学生数学学习的内驱力，使其更主动地投入到数学学习中，尽情畅享数学知识的神奇与瑰丽。　　关键词：高中数学构造法教学策略　　著名数学家波利亚曾经说过：“数学解题的成功需要进行正确的思路选择，要从可以接近它的方向去攻击堡垒。”数学问题的解

2、决不一定要采用常规思路，即仅根据已知条件并结合所学知识按部就班地探索答案。有些问题我们用常规思维模式是很难获得到正确答案的，因此，这就需要学生改变原有的思维方式，以新的角度来考虑问题，寻求破解问题的关键点。构造法就是这样的手段之一，它是一种极其重要的数学解题思想，应用十分广泛。我结合多年的高中数学教学经验，对如何在课堂授课以及习题训练中渗透构造法的使用条件及注意事项进行研究与探索，下面通过具体实例浅谈几点看法。　　一、图形构造，判断个数6　　在高中数学学习中，几何部分是重点知识之一，其考查方式也多种

3、多样，大部分学生对此都感到十分迷茫。在很多题型中，几何条件与证明结论之间的关系也较为隐蔽，学生仅通过题意一时间是很难发现关键点的。因此，学生应注意挖掘题目条件中隐含的几何含义，并以此为依据构造出适当的几何图形，使问题变得更加直观，取得事半功倍的解答效果。　　几何部分知识的学习是枯燥无味的，尤其对于空间想象力不强的学生，当他们遇到分析图形个数问题时，总会晕头转向，不能准确抓住解题的关键，只会浪费时间，不利于考试发挥。教师要教会学生使用便捷的方法，加快解题速度。例如，很多学生都会遇到这样的题目：如图1所

4、示的三棱锥P-ABC，在棱锥的三个侧面以及一个底面中，直角三角形的个数最多可能存在（）个。　　这道题目虽然给出了一个三棱锥，但仍需我们展开想象，构造出一个符合题目要求的三棱锥。题干要求我们找出可能存在的直角三角形的个数，很明显，我们会联想到PA⊥底面△ABC，如果底面△ABC也是一个直角三角形，假设∠ABC是直角，那么我们很容易就能得出答案为4。　　这道题运用了构造法求解题，使用构造法之前一定要对题干认真分析，根据已知条件构造出合适的图形，这才是解题的关键。在高考中有不少填空题或选择题都可以利用构造

5、法快速解决，有些时候还需要构造出一些与题干相悖的图形，进而推翻选项达到快速解题的目的。教师要注意在平常训练中培养学生的解题技巧，多向学生渗透构造法在几何图形中的妙用。　　二、函数构造，求证不等6　　高中函数的学习并不像初中函数那么简单，往往会出现一些较为复杂的证明题，以考查学生的理论推理能力。在求解某些函数问题时，使用直接方法往往并不能解决问题，因此，我们要利用所学知识和已知条件构造出一个新的函数，为解题提供帮助，使问题在新的观念下得以转化，接下来再利用函数的相关性质解决原问题，这是一种行之有效的解

6、题策略。　　众所周知，函数学习贯穿数学学习的始终，随着知识水平的提升，对学生的函数理解能力以及应用水平的要求都有所提高。证明类题目一直是高中数学的难点，很多学生都无法轻松突破，教师要及时帮助学生打破知识的桎梏，完成证明题目解决的逆袭。例如，我在习题训练中会给学生设置这样的题目：证明不等式<（x≠0）。这道题如直接证明，则难度很大，我们要进行转换，题目等效于-　　0时，2x>1，即1-2x<0，所以f（x）=-<0，再根据偶函数的性质可知，当x<0时，也有f（x）<0。所以，当x≠0时，f（x）<0，

7、即原不等式<得证。这道题目虽然属于不等式的知识范畴，但只利用不等式的相关知识并不能快速解题，我们需将题目转化后得到一个新的函数，在对函数进行分析并结合函数性质特点后，就能较轻松地解决问题了。　　在构造函数过程中，最应该注意的就是要有意识、有目的地构造，切不可胡乱构造，否则对解题是毫无益处的，这样只会浪费时间，毫无成效。构造函数要注意目的性，构造完成后要明确如何利用相关性质进行解题，以加快解题速度，提升解题效率。　　三、向量构造，数形转化　　平面向量是学生进入高中后接触到的新6知识，它也是高中数学的重

8、要内容，在每年高考中都会有所体现。为了帮助学生取得佳绩，教师要帮助学生理解向量的真正含义。其实，向量的应用有很多，尤其在解决立体几何相关问题中，很多题目如直接利用传统方法是无法解决的，而利用向量法解题则会非常简单，这都体现了向量的重要性。　　就向量本身的知识而言，它可以实现由数向形的转化，我们可以根据题意构造出对解题有利的平面向量模型，使问题得以简化，学生分析起来也会简单得多。证明题在高考中出现的频率越来越高，我以一道证明题为例，简要介绍向量构造法使用的妙处。求证：

9、