合取范式的可满足性完备算法研究与实现

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1、合取范式的可满足性完备算法研究与实现　　摘要：把可满足性算法应用到合取范式中并加以分析，借助改进的数据结构实现该算法。在四色图着色中应用该算法找出一组图着色方案，并与DPLL算法进行了性能比较。　　关键词：合取范式；可满足性；布尔约束推导；冲突分析　　DOIDOI：10.11907/rjdk.161162　　中图分类号：TP312　　文献标识码：A文章编号：16727800（2016）010003203　　0引言　　合取范式的可满足性问题（SAT）是理论计算机科学和人工智能中的著名问题。寻求其有效算

2、法一直都是计算机理论及实际应用的重要任务。SAT算法又分为完备算法和不完备算法两大类。1960年，Davis和Putnam[1]提出的DPLL算法是最早提出的完备算法，它有变量决策、赋值过程、回溯过程等几个主要机制。此后提出的SAT算法大都基于DPLL算法[23]，从变量决策和回溯机制来提高算法的性能[4]。此外，为了减少回溯次数，提出了一种冲突分析机制[5]，可满足性完备算法即由这几个部分组成[6]。　　目前SAT以完备算法为主，算法有两种：一是1960年由Davis和Putnam提出的DPLL算

3、法以及改进版；另一个是Bart6Selman提出的贪婪搜索算法。以上算法都只停留在算法思想上，难于实际应用。SAT算法的改进对计算机科学的发展有着重要作用。　　本文研究了基于DPLL的SAT算法，采用改进的数据结构实现了DPLL算法的几个主要机制。运用这几个机制实现了基于CNF的可满足性问题完备算法，并将该算法应用到地图着色问题中，与原DPLL算法相比，效率有所提高。　　1基于CNF的SAT算法　　1.1算法总体框架　　基于CNF的SAT算法主要有读取文件、变量决策、回溯过程、冲突分析等几个过程，算

4、法框架如图1所示。SAT算法的实现包含5个关键机制，分别为分支决策算法decide（）、冲突分析算法diagnose（）、布尔约束推导deduce（）、回溯机制backtrace（）和判定计算compute（），它们共同影响着整个算法效率。其中，判定计算是算法的核心。　　SAT算法中的决策变量选择直接影响着BCP过程，进而影响算法的效率。常用的SAT算法在决策变量的选择上有多种方法，如动态排序、最短子句出现频率最大JW策略和动态筛选策略等。6　　本算法使用动态筛选策略。动态筛选策略的核心思想是：对每

5、个变量打分，以分数最高的变量作分支决策变量。打分规则为：在CNFa中对变量p打分。在CNFa中对p赋值为真，得到CNFh；对CNFh使用单子句规则降维，直至不能再降为止，最后结果记为CNFd。在CNFa中对p赋值为假，得到CNFc；对CNFc使用单子句规则降维，直至不能再降为止，最后结果记为CNFd。改进规则为：如果当前节点是根节点，那么对每个变元用上述的打分规则打分，直至打分完毕；否则对每个变元考虑是否照抄它在当前的结点父节点的得分。当变元在父节点对p打的分数小于一个绝对常数时，就照抄在父节点对p

6、打的分数，否则在当前节点对它重打分。　　回溯函数backtrace的设计使用基于冲突学习的非同步回溯，是一种智能回溯机制。　　判定计算函数是整个算法的框架，它把各个算法机制联系起来，控制着整个算法的调度。通过冲突分析和分支决策，把决策变量选取后，利用DPLL算法的单子句规则和分裂规则化简合取范式，对决策变量赋值，并存放在EV中。结果集合包含限制集合中的某一组集合，也就是发生冲突时需要调用回溯函数，回溯到第0层且集合为空，此时问题是不可满足的；或者限制集合中的每个元素都被计算过且没有发生冲突，此时问题

7、是可满足的。流程如图2所示。　　1.2决策策略算法　　决策策略算法与传统的SAT算法不同之处在于其使用的是动态筛选策略。动态筛选策略能快速筛选出绝大多数的高价值变量，并将这些变量限定在很小的范围内。无论规模大小，这种策略都能使算法性能提高。　　查找分支决策变量是SAT算法的关键问题之一，它由限制集合CT中的每一个元素与结果集合的补集所决定。这是一个循环过程，循环次数由当前限制集合中活跃子句的数目确定。不断循环这个过程，直到找到最小的补集，在该补集中选择一个决策变量。如果出现补集为空则需要回溯。分支决

8、策实现流程如图3所示。　　1.3改进的BCP过程6　　BCP就是变量不断被赋值，子句中未赋值的变量数不断减少。由于BCP过程占用了整个算法执行过程的80%以上，所以BCP过程对于算法效率有着显著的影响。　　传统的BCP方法是：给一个变量赋值时，用穷举法搜索所有子句，找出由于该变量的赋值而变为单子句的子句，记录它索引指针并对其赋值。本算法使用改进的BCP过程，它是一种动态筛选过程，在CT中确定了决策变量p后，只需要将MN[p]放入EV中即可，这样能快速选出待赋值变量。