等腰三角形性质定理与判定定理

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1、..一.本周教学内容：等腰三角形的性质和判定 二.教学目标：（一）知识与技能：（1）掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，并会灵活运用。   （2）能用上述结论进行分析与说理，进行初步的逻辑思维训练，形成一定的推理能力。（二）情感态度与价值观：通过等腰三角形性质定理和判定定理的证明体现数学的应用价值。 三.重点、难点：重点是等腰三角形的性质定理和判定定理   难点是利用定理解决实际问题 四.教学过程：（一）知识梳理   知识点1：等腰三角形的性质定理1  （1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）  （2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C 

2、  （3）证明：取BC的中点D，连接AD             在△ABD和△ACD中                       ∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。知识点2：等腰三角形性质定理2（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）（2）符号语言：∵AB=AC           ∵AB=AC            ∵AB=AC资料..∠1=∠2             AD⊥BC             BD=DC∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠

3、1=∠2            ∴∠1=∠2BD=DC               AD⊥BC   （3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。   说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。   知识3：等腰三角形的判定定理   （1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）（2）符号语言：在△ABC中∵∠B=∠C    ∴AB=AC   （3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。    在△ABD

4、和△ACD中    ∴△ABD≌△ACD（AAS）∴AB=AC   （4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。   说明：①本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义 2、利用定理。 【典型例题分析】基础知识应用题：例1.如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。   解：∵AP=PQ=AQ（已知）∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义）∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质）∵AP=BP（已知）∴∠PBA=∠PAB（等边对等角）又∠APQ=∠PAB+∠

5、PBA=60°∴∠PBA=∠PAB=30°同理∠QAC=30°资料..∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°解答此类题的步骤如下：（1）利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。   （2）利用三角形内角和定理，确定等量关系，借助等式或方程求解。  例2.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。求证：△DEF是等腰三角形。   证明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）∠BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质）∠B=∠DEF（已知）∴∠BDE=∠FE

6、C（等角的补角相等）在△BED和△CFE中∠BDE=∠FEC中 （已证）BD=CE  （已知）∠B=∠C （已知）∴△BED≌△CFE（ASA）∴DE=EF （全等三角形对应边相等）∴△DEF是等腰三角形 （等腰三角形定义） 综合应用题：例3.已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD   证明：∵AB∥CD （已知）∴∠A=∠C，∠B=∠D （两直线平行，内错角相等）∵OA=OB （已知）∴∠A=∠B （等边对等角）∴∠C=∠D （等量代换）∴OC=OD （等角对等边）  例4.如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC

7、与AC的位置关系，并证明你的结论。资料..证法一：证明：作DE⊥AB于E∵DA=DBDE⊥AB∴AE=BE=∵AB=2AC∴AE=AC在△AED和△ACD中∴△AED≌△ACD∴∠C=∠AED=90°∴DC与AC的位置关系为：DC⊥AC证法二：证明：延长AC到F，使CF=AC，连结DF∵AB=2AC，AF=2AC∴AB=AF在△ABD和△AFD中∴△ABD≌△AFD∴DF=DB∵DA=DB∴DA=DF又∵AC=CF∴DC⊥AF说明：法一是利用了