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1、二次函数知识点总结第一部分二次函数基础知识◊相关概念及定义>二次函数的概念：一般地，形如）=衣+加+c（a，b,c是常数，QHO）的函数,叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数QH0,而方，c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.>二次函数=ax2+Zzr+c的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量尢的二次式，尢的最高次数是2.（2）a，b,c是常数，。是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.◊二次函数各种形式之间的变换>二次函数y=ax14-Z?x4-c用配方法可化成：y=a（x-hf-
2、-k的形式，其屮.h.4ac-b2h—9k—■2a4a>二次函数由特殊到一般，可分为以下儿种形式：①y=®y=ajc-^k：®y=a{x-/i）2；④y=a（x-/?）2+k；®y=ax1+bx-vc.◊二次函数解析式的表示方法A—般式：y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，心0）；>顶点式：y=a（x-/?）2+k（a,h,k为常数,ghO）；>两根式：y=«（x-x,）（x-x2）（心0,斗，％是抛物线与兀轴两交点的横坐标）.>注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点
3、式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac>0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.◊抛物线y=ax2+bx+c的三要素：开口方向、对称轴、顶点.>G的符号决定抛物线的开口方向：当。>0时，开口向上：当avO时，开口向下;同相等，抛物线的开口大小、形状相同.>对称轴:平行于y轴（或重合）的直线记作x=-—.特别地，y轴记作直线x=0.2ab4ac—沪>顶点坐标坐标：,）2a4a◊抛物线y=ax1+bx+c+1,a,b,c与函数图像的关系>二次项系数a二次函数y=ax1^bx^c中，。作
4、为二次项系数，显然心0.（1）当。>0时，抛物线开口向上，。越大，开口越小，反之。的值越小，开口越大；（2）当时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反Zg的值越大，开口越大.总结起来，Q决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，制的大小决定开口的大小.>一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.（1）在a>0的前提下，当b〉0时，-2<0,即抛物线的对称轴在y轴左侧；2a当b=o时，-2=0,即抛物线的对称轴就是y轴；当bvO时，-2〉0,即抛物线对称轴在y轴的右侧.2a⑵在Q<()的前提
5、下，结论刚好与上述相反，即当方>0时，-舟>0,即抛物线的对称轴在y轴右侧；当“0时，-A=0,即抛物线的对称轴就是y轴；当时，<0,即抛物线对称轴在y轴的左侧.2ci'总结起来，在。确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.>常数项c(1)当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;(2)当*0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；(3)当cvO时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与)•，轴交点的位置.总之，
6、只要a，4c都确定，那么这条抛物线就是唯一-确定的.求抛物线的顶点、对称轴的方法2>公式法：y=ax：+bx+c-ax+2a丿zb4ac-b2.启丄-士小b2a4a2a4ac-b2+4。•:顶点是>配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x-h)2+k的形式，得到顶点为(h,k),对称轴是直线x=h.>运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用趾方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.◊用待定
7、系数法求二次函数的解析式>一般式：y=ajc+bx^c.已知图像上三点或三对兀、y的值，通常选择一般式.>顶点式：y=q(x-/2)2+k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.>交点式：已知图像与兀轴的交点坐标兀
8、、x2,通常选用交点式：y=a(xXx_x2)-◊直线与抛物线的交点>y轴与抛物线y=a：c+/?x+c得交点为(0,c).>与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ajc+/zr+c有且只有一个交点(h,ah2+bh+c).>抛物线与x轴的交点：二次函数y=a：c+bx+c的图像与兀轴的两个交点的横坐标旺、勺，
9、是对应一元二次方程a^+bx+c=0的两个实数根.抛物线与兀轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点o△>0o抛物线与兀轴相交；②有一个交点(顶点在兀轴上)o△=0o抛物线与x轴相切；③没有交点<=>△<()o抛物线与兀轴相离.>平行于x轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交
