一轮复习配套讲义：第12篇 第1讲 合情推理与演绎推理设计

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1、第1讲　合情推理与演绎推理[最新考纲]1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.知识梳理1．合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类

2、比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．辨析感悟1．对合情推理的认识(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(

3、2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)(4)(教材习题改编)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N*)．(×)(5)(2014·安庆调研改编)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.(√)2．对演绎推理的认识(6)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(7)在演绎推理中

4、，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)[感悟·提升]三点提醒　一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误，如(3)．三是应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．如(7)．学生用书第200页考点一　归纳推理【例1】(2013·湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各

5、种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数　　　　　N(n,3)＝n2＋n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝n2－n，六边形数N(n,6)＝2n2－n……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.解析　由N(n,3)＝n2＋n，N(n,4)＝n2＋n，N(n,5)＝n2＋n，N(n,6)＝n2＋n，推测N(n，k)＝n2＋n，k≥3.从而N(n,24)＝11n2－10n，N(10,24)＝1000

6、.答案　1000规律方法归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．【训练1】(1)(2014·佛山质检)观察下列不等式：①＜1；②＋＜；③＋＋＜.则第5个不等式为________．(2)(2013·陕西卷)观察下列等式(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5……照此规律，第n个等式可为________．解析　(2)由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为(n＋1)(n＋

7、2)…(n＋n)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n与n个奇数之积，即2n×1×3×5×…×(2n－1)．答案　(1)＋＋＋＋＜(2)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)考点二　类比推理【例2】在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为S△ABC＝(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体A－BCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为________”．审题路线　三角形面