大学解析几何课程的教学改革及其论证

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1、大学解析几何课程的教学改革及其论证　　[摘要]解析几何课程的教学研究与改革，对于综合大学、师范院校的数学与应用数学、计算数学、概率统计以及信息与计算科学等专业的课程建设，具有重要的理论与实践价值。应扩充解析几何教学内容的理论依据的研究，增加保距变换与仿射变换内容之重要性与必要性的横向比较求证，变传统解析几何教学内容中的以直角坐标系作主要参照系为以仿射坐标系作主要参照系。同时，重新确定教学学时，并对教材教法进行适当改革。　　[关键词]解析几何教材教法教学改革教学内容教学大纲　　[中图分类号]G642.0[文献标识码

2、]A[文章编号]2095-3437（2013）11-0109-02　　解析几何在数学专业的基础课程中具有十分重要的地位，解析几何课程的教学研究与改革，对于综合大学、师范院校的数学与应用数学、计算数学、概率统计以及信息与计算科学等专业的课程建设，具有重要的理论与实践价值。我校自三年前立项《解析几何课程建设的系统教学研究》，深入多届应用数学专业的学生和其他任课教师中进行调查研究，了解学生学习解析几何课程的感受及体会，收集教学反馈信息，设计、实施了两次问卷调查作研讨求证，取得了丰硕的教改成果。本文仅将其主要的结论作简略

3、介绍。　　一、关于改革解析几何教学内容的研究6　　增加保距变换（亦称正交变换）与仿射变换，在教学学时允许的情况下，再增加射影几何初步内容。其理由基于如下两方面的论证。　　（一）扩充解析几何教学内容的理论依据的研究　　1.由于综合大学的应用、计算数学等专业在其课程设置中，往往不另开设高等几何（即射影几何学）课程，也不开设微分几何、几何基础和拓扑学，解析几何是开设的专业基础课中唯一的几何学，故加强解析几何的教学内容是十分必要的。　　2.不学习仿射变换与保距变换，学生就只知解析几何中有坐标变换这一方面，而不了解其中另一

4、方面的重要变换――几何变换，造成学生数学素质的一种缺陷。　　3.不学习仿射变换与保距变换，就无从了解高等代数中线性变换的背景与渊源；因只知坐标变换，不知几何变换，而不能全面理解线性变换的几何意义，以及二次型的正交变换、一般的合同变换的几何意义。　　4.学习仿射变换与保距变换，有助于理解数学分析中重积分的线性变量代换的几何意义并做进一步的应用，也有助于学习复变函数的解析映照并做进一步的应用。　　5.保距变换与仿射变换作为最重要、最基本的实用几何变换方法，具有十分重要的可应用性。其中，关于仿射变换由三点或仿射标架所确

5、定，及其在二标架下点坐标具有不变性；关于仿射变换的变积系数及其确定等知识与方法，显然十分重要，且能为学生进一步学好高等代数、数学分析、复变函数、泛函分析以及计算机图形学奠定充实全面的数学基础。6　　（二）增加保距变换与仿射变换内容之重要性与必要性的横向比较求证　　在传统解析几何教学内容的基础上增加保距变换与仿射变换内容的重要性与必要性，可以通过其他院校数学专业开设的解析几何课程的教学内容，以及著名的、或使用率较高的解析几何教材的内容加以印证。　　1.早在1961年，由我国著名数学家、数学教育家吴光磊、丁石孙、姜伯

6、驹田畴等编著的教材，[1]为北京大学与众多师范院校和综合性大学的数学专业选作教材使用（20世纪60至80年代）。其内容的第9章即为正交变换与仿射变换。　　2.南开大学数学系早在1978年3月所编的教材，[2]为南开大学多年作教材使用，内容包括欧氏几何与仿射几何、射影几何简介。　　3.参考文献[3]和[4]，是北京大学教师所编、由北京大学出版社出版的解析几何教材（“九五”教育部重点教材），长期以来一直为北京大学数学系教学使用教材，也为众多大学选作数学专业的解析几何教材。教材[3][4]内容都包含保距变换与仿射变换、

7、射影几何学初步。　　4.由武汉大学编写并作为武汉大学本科生系列教材之数学专业基础课教材的文献[5]，其内容包括正交变换与仿射变换、射影几何。　　（三）变传统解析几何教学内容中的以直角坐标系作主要参照系为以仿射坐标系作主要参照系　　1.在大多数解析几何教材中，虽引进了仿射坐标系，但总是约定，非特别说明时，所采用的参照系均指直角坐标系。这样使本课程教学（学习）的结果是，学生只形成了对直角坐标的印象，只习惯于、也只会使用直角坐标系。而以仿射坐标系为参照系，无疑更自然、更方便。6　　2.基于以上理由，在教材编写与教学设计

8、中，应将仿射坐标系作为基本的、一般的、普遍的参照背景或条件，即未作特别说明时，所用坐标系是一般的仿射坐标系；应首先在此一般条件下，研究图形与其他问题的具有普遍性的性质与结论（可称作仿射特征或仿射性质），之后，作为补充、特殊情况或进一步研究，再在特殊的仿射坐标系――直角坐标系下，研究图形与问题的性质与结论（可称作度量特征或度量性质）。　　3.为明确区别起见，将基本的、作为一