傅里叶级数与傅里叶变换关系与应用

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1、摘要：1关键词11绪论22傅里叶级数的概念22.1周期函数32.2傅里叶级数的定义33傅里叶变换的概念及性质113.1傅里叶变换的概念113.2傅立叶变换的性质124傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系.......125傅里叶级数和傅里叶变换的应用135.1傅里叶级数的应用14参考文献16扌商要：傅里叶级数是对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信

2、号。很多波形可以作为信号的成分，例如余弦波，方波，锯齿波等等，傅里叶变换作为信号的成分。在电子类学科，物理学科，信号处理学科等众多领域都有着广泛的应用。傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的柱加，存在相似的特性。关键词：傅里叶级数；傅里叶变换；周期性1绪论傅里叶级数是法国数学家傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出来的，从而极人的推动了偏微分方程理论的发展，在数学物理以及工程屮都具有重要的应用。积分变换起源于19世纪的运算危机，英国著名的无线电工程师海维赛德(O.Heaviside)

3、在用它求解电工学、物理学领域屮的线性微分方程的过程中逐步形成一种所谓的符号法，后来符号法乂演变成今天的积分变化法。所谓积分变换，就是把某函数类A中的函数/(x)乘上一个确定的二元函数k(x,s)，然后计算积分,即这样变成了另一个函数类B中的函数F(5),这里的二元函数纵兀,$)是一个确定的二元函数，通常称为该积分变换的核，/(兀)称为象原函数，F($)称为/(兀)的象函数，当选取不同的积分域和核函数，就得到不同名称的积分变换。傅里叶级数对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。除

4、此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。要想了解傅里叶变换算法的内涵，首先要了解傅里叶原理的内涵。傅里叶原理表明：对于任何连续测量的数字信号，都可以用不同频率的正弦波信号的无限柱加来表示。傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。很多波形可以作为信号的成分，例如余弦波，方波，锯齿波等等，傅里叶变换作为信号的成分。在电子类学科，物理学科，信号处理学科等众多领域都有着广泛的应用。傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的柱加，存在相似的特性。2

5、傅里叶级数的概念2・1周期函数我们把凡是满足以下关系式：/(x+T)=(T为常数)的函数，都称为周期函数。周期定义：（1）满足式（1.1.1）的T值屮的最小正数，即为该函数的周期；（2）一个常数以任何正数为周期。基本三角函数系：按某一规律确定的函数序列称为函数系。如下形式的函数系:COScosLjrLtt0/称为基木三角函数系。所有这些函数具有各自的周期,例如cos—x和sin—兀的周期为一，但IIk它们的共有周期为2/（即所有周期的最小公倍数）。通常这个周期命名为函数系的周期。所以式（1.1.2）的三角函数系的周期为2/。2.2傅里叶级数的定义傅里

6、叶级数是一类特殊的函数项级数，对周期性现象进行数学上的分析，其在理论和应用上都有重要价值2.2.1三角级数、三角函数及其正交性在物理学中，我们知道，简谐振动是一种简单的周期运动，而在简谐振动中，一种标准而简单的简谐振动可由下面函数描述yn=sin（M¥+dw）,我们不难看出，更一般的简谐振动y=Asin（wx+3）,可通过适当的变换为（1）,将无穷多个如（1）式那样的简谐振动叠加，便得到函数项级数8Aj+SA；sin（处+%）W=1如果（2）式收敛到函数，即8=4+sin（nx+）则易见/（x）是周期为t=—X的函数，从/（兀）的角度看，如果（3）

7、式成立（氏（-00,+8））,则2兀我们便将更一般或更复杂的周期为2龙的函数/（x）分解为简单标准的简谐振动的亞加，这对研究/（Q的各种性质带来了很大的方便。于是，我们自然提出以下问题：什么条件下我们可以将一个周期为2龙的函数/(x)表示成如(1)式那样简单，标准的简谐振动的叠加?即什么条件下(3)式成立?更一般地，什么条件下可以将一个周期为T的函数表示成简谐振动的叠加？设g⑴周期为T,则只T要令^=—x,就有2兀g(O=g(-^-x)=f(x)则/(Q周期为2龙，所以我们只要讨论前一个问题就行了。为了数学推导和理论研究方便，我们将级数(2)作如下变

8、形8A)+ZXsin(/Lv+ajH=loosindHcosnx+AfJcosdflsinnx77=1令A)