圆锥曲线之轨迹问题例题习题

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1、..专题：圆锥曲线之轨迹问题一、临阵磨枪1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据

2、相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种

3、方法称为交轨法。二、小试牛刀1.已知M（-3,0），N（3,0）,则动点P的轨迹方程为析：∴点P的轨迹一定是线段MN的延长线。故所求轨迹方程是2.已知圆O的方程为，圆的方程为，由动点P向两圆所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程为析：∵圆O与圆外切于点M(2,0)∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等，故动点P的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为3.已知椭圆，M是椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点P的轨迹方程为析：设P又由中点坐标公式可得：资料..又点在椭圆上∴因此中点P的轨迹方程为4.已知A、B、C是不在同一直线上的三点，O是平面ABC内的一定

4、点，P是动点，若,则点P的轨迹一定过三角形ABC的重心。析：设点D为BC的中点，显然有故点P的轨迹是射线AD，所以，轨迹一定过三角形的重心。三、大显身手1、直接法例1、设过点P（x,y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，若且,则P点的轨迹方程为解：设又所以又所以而点与点关于轴对称，∴点的坐标为即又所以这个方程即为所求轨迹方程。变式1、已知两点M（-2,0），N（2,0），点P满足,动点P的轨迹方程为解:设则：又资料..化简得所求轨迹方程为：2、定义法例2、已知圆A的方程为，点B（-3,0），M为圆O上任意一点，BM

5、的中垂线交AM于点P，求点P的轨迹方程。解：由题意知：又圆A的半径为10，所以即点P的轨迹是以定点A(3,0)B(-3,0)为焦点，10为长轴的椭圆（椭圆与长轴所在的对称轴的两交点除外）其轨迹方程为变式2、已知椭圆的焦点为，P是椭圆上的任意一点，如果M是线段的中点，则动点M的轨迹方程是解：因为M是线段的中点，连接OM，则由椭圆的定义知：即点M到定点O、定点的距离和为定值，故动点M的轨迹是以O、为焦点，以为长轴的椭圆，其方程为（说明：此题也可以用代入法解决）3、坐标转移法（代入法）资料..例3、从双曲线上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点

6、P的轨迹方程。解：设Q则由可得N点坐标设由中点坐标公式可得：又点Q在双曲线上，所以代入得化简得即为所求轨迹方程。变式3、自抛物线上任意一点P向其准线引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于R，求点R的轨迹方程。解：设∵抛物线的方程是∴所以直线OP的方程是直线QF的方程是联立两方程得：又所以化简得：即为所求轨迹方程。4、参数法例4、设椭圆方程为，过点M（0,1）的直线资料..交椭圆于A、B，点P满足,点，当直线绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）的最大、最小值。解：（1）设直线的方程为代入椭圆方程得设则设动点P的坐标为，由可

7、得消去参数即得所求轨迹方程为：当斜率不存在时，点P的坐标为（0,0）显然在轨迹上，故动点P的轨迹方程为。（2）P点的轨迹方程可以化为所以可设点P的坐标为则所以当时当时变式4、过抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB.(1)求弦AB的中点的轨迹方程；（2）证明：直线AB与x轴的交点为定点。解：（1）由题意知OA的斜率存在且不为零，设为则直线OA的方程为与抛物线联立可得点A的坐标为同理可得点B的坐标为设弦AB的中点为M（x,y）则资料..消去得弦AB的中点的轨迹方程为（2）直线AB的斜率为所以，其方程为令得故直线AB与x轴的焦点为定点（2,0）5、交轨法例5、垂

8、直于x轴的直线交双曲线于M、N两点，为双曲线的顶点，