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《高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8_6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直课件 理 苏教版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§8.6立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直基础知识 自主学习课时作业题型分类 深度剖析内容索引基础知识 自主学习1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为知识梳理非零2.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔.(
2、3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔.v1∥v2存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2v⊥uu1∥u23.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔⇔.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔⇔.v1⊥v2v1·v2＝0v∥uu1⊥u2u1·u2＝0思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一
3、确定的.()(2)平面的单位法向量是唯一确定的.()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.()(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.()(5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行.()(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行.()××√√××考点自测1.(2017·宿迁质检)已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是_____.①(－1,1,1)②(1，－1,1)答案解析③设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，∴x＝y＝z.③正确.2.已知直线l的方向向量为
4、v＝(1,2,3)，平面α的法向量为u＝(5,2，－3)，则l与α的位置关系是__________.答案解析l∥α或l⊂α∵v·u＝0，∴v⊥u，∴l∥α或l⊂α.3.平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝_____.答案解析4∵α∥β，∴两平面法向量平行，4.(教材改编)设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为_______；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为_______.答案解析α⊥βα∥β当v＝(3，－2,2)时
5、，u·v＝(－2,2,5)·(3，－2,2)＝0⇒α⊥β.当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2u⇒α∥β.5.(教材改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_____.答案解析垂直以A为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，M(0,1，)，O(，0)，N(，0,1)，∴ON与AM垂直.题型分类 深度剖析题型一 利用空间向量证明平行问题例1(2016·扬州模拟)如图所示，平面P
6、AD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：PB∥平面EFG.证明∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1，2,0).∴＝(2,0，－2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)，即(2,0，－2)＝s
7、(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.引申探究本例中条件不变，证明平面EFG∥平面PBC.证明∵＝(0,1,0)，＝(0,2,0)，∴，∴BC∥EF.又∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC，同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC.又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面PBC.(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，
8、或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.思维升华跟踪训练
